Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13671 / 10677
↖ ↑ ↗
← N 52.981723°
W 29.805908°		 ← 735.47 m → N 52.981723°
W 29.794922°		 →
↑
735.53 m
↓
↑
735.53 m
↓
N 52.975108°
W 29.805908°		 ← 735.59 m →
541 006 m²		 N 52.975108°
W 29.794922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417221069335938 y=0.325851440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417221069335938 × 215)
    floor (0.417221069335938 × 32768)
    floor (13671.5)     		tx = 13671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325851440429688 × 215)
    floor (0.325851440429688 × 32768)
    floor (10677.5)     		ty = 10677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13671 / 10677 ti = "15/13671/10677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13671/10677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13671 ÷ 215
    13671 ÷ 32768     		x = 0.417205810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10677 ÷ 215
    10677 ÷ 32768     		y = 0.325836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417205810546875 × 2 - 1) × π
    -0.16558837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52021123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325836181640625 × 2 - 1) × π
    0.34832763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09430354452664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52021123} λ = -0.52021123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09430354452664))-π/2
    2×atan(2.98710157553625)-π/2
    2×1.24775092020679-π/2
    2.49550184041358-1.57079632675     		φ = 0.92470551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52021123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.805908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92470551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.981723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13671 KachelY 10677 -0.52021123 0.92470551 -29.805908 52.981723
    Oben rechts KachelX + 1 13672 KachelY 10677 -0.52001949 0.92470551 -29.794922 52.981723
    Unten links KachelX 13671 KachelY + 1 10678 -0.52021123 0.92459006 -29.805908 52.975108
    Unten rechts KachelX + 1 13672 KachelY + 1 10678 -0.52001949 0.92459006 -29.794922 52.975108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92470551-0.92459006) × R
    0.000115450000000017 × 6371000     		dl = 735.531950000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92470551-0.92459006) × R
    0.000115450000000017 × 6371000     		dr = 735.531950000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52021123--0.52001949) × cos(0.92470551) × R
    0.000191739999999996 × 0.602069752110408 × 6371000     		do = 735.473682551921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52021123--0.52001949) × cos(0.92459006) × R
    0.000191739999999996 × 0.602161928399216 × 6371000     		du = 735.586282851698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92470551)-sin(0.92459006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602069752110408-0.602161928399216)×R²
    abs(-0.52001949--0.52021123)×9.21762888081989e-05×R²
    0.000191739999999996×9.21762888081989e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.21762888081989e-05×40589641000000     		ar = 541005.803061785m²