Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13668 / 3772
↖ ↑ ↗
← N 79.820072°
W 29.838867°		 ← 215.91 m → N 79.820072°
W 29.827881°		 →
↑
215.98 m
↓
↑
215.98 m
↓
N 79.818130°
W 29.838867°		 ← 215.95 m →
46 637 m²		 N 79.818130°
W 29.827881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417129516601562 y=0.115127563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417129516601562 × 215)
    floor (0.417129516601562 × 32768)
    floor (13668.5)     		tx = 13668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115127563476562 × 215)
    floor (0.115127563476562 × 32768)
    floor (3772.5)     		ty = 3772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13668 / 3772 ti = "15/13668/3772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13668/3772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13668 ÷ 215
    13668 ÷ 32768     		x = 0.4171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3772 ÷ 215
    3772 ÷ 32768     		y = 0.1151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1151123046875 × 2 - 1) × π
    0.769775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41832071203259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52078648} λ = -0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41832071203259))-π/2
    2×atan(11.226990126486)-π/2
    2×1.48195969696567-π/2
    2.96391939393134-1.57079632675     		φ = 1.39312307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39312307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.820072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13668 KachelY 3772 -0.52078648 1.39312307 -29.838867 79.820072
    Oben rechts KachelX + 1 13669 KachelY 3772 -0.52059473 1.39312307 -29.827881 79.820072
    Unten links KachelX 13668 KachelY + 1 3773 -0.52078648 1.39308917 -29.838867 79.818130
    Unten rechts KachelX + 1 13669 KachelY + 1 3773 -0.52059473 1.39308917 -29.827881 79.818130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39312307-1.39308917) × R
    3.38999999998091e-05 × 6371000     		dl = 215.976899998784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39312307-1.39308917) × R
    3.38999999998091e-05 × 6371000     		dr = 215.976899998784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52078648--0.52059473) × cos(1.39312307) × R
    0.000191750000000046 × 0.176739939255201 × 6371000     		do = 215.912446836821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52078648--0.52059473) × cos(1.39308917) × R
    0.000191750000000046 × 0.176773305485774 × 6371000     		du = 215.953208333714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39312307)-sin(1.39308917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176739939255201-0.176773305485774)×R²
    abs(-0.52059473--0.52078648)×3.33662305734561e-05×R²
    0.000191750000000046×3.33662305734561e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.33662305734561e-05×40589641000000     		ar = 46636.5027144253m²