Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13668 / 10688
↖ ↑ ↗
← N 52.908902°
W 29.838867°		 ← 736.75 m → N 52.908902°
W 29.827881°		 →
↑
736.74 m
↓
↑
736.74 m
↓
N 52.902276°
W 29.838867°		 ← 736.86 m →
542 837 m²		 N 52.902276°
W 29.827881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417129516601562 y=0.326187133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417129516601562 × 215)
    floor (0.417129516601562 × 32768)
    floor (13668.5)     		tx = 13668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326187133789062 × 215)
    floor (0.326187133789062 × 32768)
    floor (10688.5)     		ty = 10688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13668 / 10688 ti = "15/13668/10688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13668/10688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13668 ÷ 215
    13668 ÷ 32768     		x = 0.4171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10688 ÷ 215
    10688 ÷ 32768     		y = 0.326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52078648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326171875 × 2 - 1) × π
    0.34765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09219432094336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52078648} λ = -0.52078648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09219432094336))-π/2
    2×atan(2.98080775032309)-π/2
    2×1.24711543556242-π/2
    2.49423087112483-1.57079632675     		φ = 0.92343454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52078648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.838867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92343454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.908902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13668 KachelY 10688 -0.52078648 0.92343454 -29.838867 52.908902
    Oben rechts KachelX + 1 13669 KachelY 10688 -0.52059473 0.92343454 -29.827881 52.908902
    Unten links KachelX 13668 KachelY + 1 10689 -0.52078648 0.92331890 -29.838867 52.902276
    Unten rechts KachelX + 1 13669 KachelY + 1 10689 -0.52059473 0.92331890 -29.827881 52.902276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92343454-0.92331890) × R
    0.000115639999999972 × 6371000     		dl = 736.742439999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92343454-0.92331890) × R
    0.000115639999999972 × 6371000     		dr = 736.742439999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52078648--0.52059473) × cos(0.92343454) × R
    0.000191750000000046 × 0.603084063284091 × 6371000     		do = 736.751162757506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52078648--0.52059473) × cos(0.92331890) × R
    0.000191750000000046 × 0.603176302693427 × 6371000     		du = 736.863846040348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92343454)-sin(0.92331890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603084063284091-0.603176302693427)×R²
    abs(-0.52059473--0.52078648)×9.22394093363366e-05×R²
    0.000191750000000046×9.22394093363366e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.22394093363366e-05×40589641000000     		ar = 542837.359206074m²