Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13667 / 10693
↖ ↑ ↗
← N 52.875761°
W 29.849854°		 ← 737.31 m → N 52.875761°
W 29.838867°		 →
↑
737.32 m
↓
↑
737.32 m
↓
N 52.869130°
W 29.849854°		 ← 737.43 m →
543 675 m²		 N 52.869130°
W 29.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417098999023438 y=0.326339721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417098999023438 × 215)
    floor (0.417098999023438 × 32768)
    floor (13667.5)     		tx = 13667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326339721679688 × 215)
    floor (0.326339721679688 × 32768)
    floor (10693.5)     		ty = 10693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13667 / 10693 ti = "15/13667/10693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13667/10693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13667 ÷ 215
    13667 ÷ 32768     		x = 0.417083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10693 ÷ 215
    10693 ÷ 32768     		y = 0.326324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417083740234375 × 2 - 1) × π
    -0.16583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52097823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326324462890625 × 2 - 1) × π
    0.34735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09123558295096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52097823} λ = -0.52097823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09123558295096))-π/2
    2×atan(2.97795130619437)-π/2
    2×1.24682622520343-π/2
    2.49365245040686-1.57079632675     		φ = 0.92285612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52097823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.849854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92285612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.875761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13667 KachelY 10693 -0.52097823 0.92285612 -29.849854 52.875761
    Oben rechts KachelX + 1 13668 KachelY 10693 -0.52078648 0.92285612 -29.838867 52.875761
    Unten links KachelX 13667 KachelY + 1 10694 -0.52097823 0.92274039 -29.849854 52.869130
    Unten rechts KachelX + 1 13668 KachelY + 1 10694 -0.52078648 0.92274039 -29.838867 52.869130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92285612-0.92274039) × R
    0.000115729999999981 × 6371000     		dl = 737.315829999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92285612-0.92274039) × R
    0.000115729999999981 × 6371000     		dr = 737.315829999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52097823--0.52078648) × cos(0.92285612) × R
    0.000191749999999935 × 0.603545355070349 × 6371000     		do = 737.314694908875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52097823--0.52078648) × cos(0.92274039) × R
    0.000191749999999935 × 0.603637625875086 × 6371000     		du = 737.427416545571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92285612)-sin(0.92274039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603545355070349-0.603637625875086)×R²
    abs(-0.52078648--0.52097823)×9.22708047375043e-05×R²
    0.000191749999999935×9.22708047375043e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.22708047375043e-05×40589641000000     		ar = 543675.352578436m²