Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13665 / 3488
↖ ↑ ↗
← N 80.356996°
W 29.871826°		 ← 204.64 m → N 80.356996°
W 29.860840°		 →
↑
204.70 m
↓
↑
204.70 m
↓
N 80.355155°
W 29.871826°		 ← 204.67 m →
41 893 m²		 N 80.355155°
W 29.860840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417037963867188 y=0.106460571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417037963867188 × 215)
    floor (0.417037963867188 × 32768)
    floor (13665.5)     		tx = 13665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106460571289062 × 215)
    floor (0.106460571289062 × 32768)
    floor (3488.5)     		ty = 3488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13665 / 3488 ti = "15/13665/3488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13665/3488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13665 ÷ 215
    13665 ÷ 32768     		x = 0.417022705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3488 ÷ 215
    3488 ÷ 32768     		y = 0.1064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417022705078125 × 2 - 1) × π
    -0.16595458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52136172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    0.787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47277703000098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52136172} λ = -0.52136172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47277703000098))-π/2
    2×atan(11.8553237702043)-π/2
    2×1.48664523690651-π/2
    2.97329047381303-1.57079632675     		φ = 1.40249415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52136172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.871826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40249415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.356996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13665 KachelY 3488 -0.52136172 1.40249415 -29.871826 80.356996
    Oben rechts KachelX + 1 13666 KachelY 3488 -0.52116997 1.40249415 -29.860840 80.356996
    Unten links KachelX 13665 KachelY + 1 3489 -0.52136172 1.40246202 -29.871826 80.355155
    Unten rechts KachelX + 1 13666 KachelY + 1 3489 -0.52116997 1.40246202 -29.860840 80.355155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40249415-1.40246202) × R
    3.21300000001301e-05 × 6371000     		dl = 204.700230000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40249415-1.40246202) × R
    3.21300000001301e-05 × 6371000     		dr = 204.700230000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52136172--0.52116997) × cos(1.40249415) × R
    0.000191750000000046 × 0.167508757340305 × 6371000     		do = 204.635272685692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52136172--0.52116997) × cos(1.40246202) × R
    0.000191750000000046 × 0.167540433275828 × 6371000     		du = 204.673969251807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40249415)-sin(1.40246202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167508757340305-0.167540433275828)×R²
    abs(-0.52116997--0.52136172)×3.1675935523251e-05×R²
    0.000191750000000046×3.1675935523251e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.1675935523251e-05×40589641000000     		ar = 41892.8479866604m²