Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13665 / 15657
↖ ↑ ↗
← N 79.540122°
W142.467957°		 ← 55.45 m → N 79.540122°
W142.465210°		 →
↑
55.49 m
↓
↑
55.49 m
↓
N 79.539623°
W142.467957°		 ← 55.45 m →
3 077 m²		 N 79.539623°
W142.465210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104259490966797 y=0.119457244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104259490966797 × 217)
    floor (0.104259490966797 × 131072)
    floor (13665.5)     		tx = 13665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119457244873047 × 217)
    floor (0.119457244873047 × 131072)
    floor (15657.5)     		ty = 15657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13665 / 15657 ti = "17/13665/15657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13665/15657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13665 ÷ 217
    13665 ÷ 131072     		x = 0.104255676269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15657 ÷ 217
    15657 ÷ 131072     		y = 0.119453430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104255676269531 × 2 - 1) × π
    -0.791488647460938 × 3.1415926535     		Λ = -2.48653492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119453430175781 × 2 - 1) × π
    0.761093139648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.39104461614878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48653492} λ = -2.48653492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39104461614878))-π/2
    2×atan(10.9249003116557)-π/2
    2×1.4795166718339-π/2
    2.9590333436678-1.57079632675     		φ = 1.38823702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48653492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.467957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38823702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.540122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13665 KachelY 15657 -2.48653492 1.38823702 -142.467957 79.540122
    Oben rechts KachelX + 1 13666 KachelY 15657 -2.48648698 1.38823702 -142.465210 79.540122
    Unten links KachelX 13665 KachelY + 1 15658 -2.48653492 1.38822831 -142.467957 79.539623
    Unten rechts KachelX + 1 13666 KachelY + 1 15658 -2.48648698 1.38822831 -142.465210 79.539623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38823702-1.38822831) × R
    8.71000000013389e-06 × 6371000     		dl = 55.491410000853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38823702-1.38822831) × R
    8.71000000013389e-06 × 6371000     		dr = 55.491410000853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48653492--2.48648698) × cos(1.38823702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181546942198979 × 6371000     		do = 55.4491091658241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48653492--2.48648698) × cos(1.38822831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181555507451748 × 6371000     		du = 55.4517252144893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38823702)-sin(1.38822831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181546942198979-0.181555507451748)×R²
    abs(-2.48648698--2.48653492)×8.56525276865527e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.56525276865527e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.56525276865527e-06×40589641000000     		ar = 3077.02183518928m²