Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13664 / 15648
↖ ↑ ↗
← N 79.544609°
W142.470703°		 ← 55.43 m → N 79.544609°
W142.467957°		 →
↑
55.43 m
↓
↑
55.43 m
↓
N 79.544111°
W142.470703°		 ← 55.43 m →
3 072 m²		 N 79.544111°
W142.467957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104251861572266 y=0.119388580322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104251861572266 × 217)
    floor (0.104251861572266 × 131072)
    floor (13664.5)     		tx = 13664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119388580322266 × 217)
    floor (0.119388580322266 × 131072)
    floor (15648.5)     		ty = 15648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13664 / 15648 ti = "17/13664/15648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13664/15648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13664 ÷ 217
    13664 ÷ 131072     		x = 0.104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15648 ÷ 217
    15648 ÷ 131072     		y = 0.119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.79150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48658286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119384765625 × 2 - 1) × π
    0.76123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39147604824536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48658286} λ = -2.48658286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39147604824536))-π/2
    2×atan(10.9296146811941)-π/2
    2×1.47955582611703-π/2
    2.95911165223407-1.57079632675     		φ = 1.38831533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48658286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38831533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.544609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13664 KachelY 15648 -2.48658286 1.38831533 -142.470703 79.544609
    Oben rechts KachelX + 1 13665 KachelY 15648 -2.48653492 1.38831533 -142.467957 79.544609
    Unten links KachelX 13664 KachelY + 1 15649 -2.48658286 1.38830663 -142.470703 79.544111
    Unten rechts KachelX + 1 13665 KachelY + 1 15649 -2.48653492 1.38830663 -142.467957 79.544111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38831533-1.38830663) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dl = 55.4276999998255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38831533-1.38830663) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dr = 55.4276999998255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48658286--2.48653492) × cos(1.38831533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18146993297608 × 6371000     		do = 55.4255885669334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48658286--2.48653492) × cos(1.38830663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181478488518706 × 6371000     		du = 55.4282016498709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38831533)-sin(1.38830663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18146993297608-0.181478488518706)×R²
    abs(-2.48653492--2.48658286)×8.55554262557678e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.55554262557678e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.55554262557678e-06×40589641000000     		ar = 3072.18531411922m²