Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13663 / 3489
↖ ↑ ↗
← N 80.355155°
W 29.893799°		 ← 204.67 m → N 80.355155°
W 29.882813°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
N 80.353314°
W 29.893799°		 ← 204.71 m →
41 888 m²		 N 80.353314°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416976928710938 y=0.106491088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416976928710938 × 215)
    floor (0.416976928710938 × 32768)
    floor (13663.5)     		tx = 13663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106491088867188 × 215)
    floor (0.106491088867188 × 32768)
    floor (3489.5)     		ty = 3489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13663 / 3489 ti = "15/13663/3489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13663/3489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13663 ÷ 215
    13663 ÷ 32768     		x = 0.416961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3489 ÷ 215
    3489 ÷ 32768     		y = 0.106475830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.16607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52174522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106475830078125 × 2 - 1) × π
    0.78704833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4725852824025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52174522} λ = -0.52174522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4725852824025))-π/2
    2×atan(11.8530507582714)-π/2
    2×1.48662917568722-π/2
    2.97325835137444-1.57079632675     		φ = 1.40246202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52174522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.893799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40246202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.355155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13663 KachelY 3489 -0.52174522 1.40246202 -29.893799 80.355155
    Oben rechts KachelX + 1 13664 KachelY 3489 -0.52155347 1.40246202 -29.882813 80.355155
    Unten links KachelX 13663 KachelY + 1 3490 -0.52174522 1.40242990 -29.893799 80.353314
    Unten rechts KachelX + 1 13664 KachelY + 1 3490 -0.52155347 1.40242990 -29.882813 80.353314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40246202-1.40242990) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40246202-1.40242990) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52174522--0.52155347) × cos(1.40246202) × R
    0.000191750000000046 × 0.167540433275828 × 6371000     		do = 204.673969251807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52174522--0.52155347) × cos(1.40242990) × R
    0.000191750000000046 × 0.167572099179795 × 6371000     		du = 204.71265356298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40246202)-sin(1.40242990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167540433275828-0.167572099179795)×R²
    abs(-0.52155347--0.52174522)×3.16659039666933e-05×R²
    0.000191750000000046×3.16659039666933e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.16659039666933e-05×40589641000000     		ar = 41887.7269166458m²