Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13662 / 15650
↖ ↑ ↗
← N 79.543612°
W142.476196°		 ← 55.43 m → N 79.543612°
W142.473449°		 →
↑
55.43 m
↓
↑
55.43 m
↓
N 79.543114°
W142.476196°		 ← 55.43 m →
3 072 m²		 N 79.543114°
W142.473449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104236602783203 y=0.119403839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104236602783203 × 217)
    floor (0.104236602783203 × 131072)
    floor (13662.5)     		tx = 13662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119403839111328 × 217)
    floor (0.119403839111328 × 131072)
    floor (15650.5)     		ty = 15650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13662 / 15650 ti = "17/13662/15650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13662/15650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13662 ÷ 217
    13662 ÷ 131072     		x = 0.104232788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15650 ÷ 217
    15650 ÷ 131072     		y = 0.119400024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104232788085938 × 2 - 1) × π
    -0.791534423828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.48667873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119400024414062 × 2 - 1) × π
    0.761199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39138017444612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48667873} λ = -2.48667873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39138017444612))-π/2
    2×atan(10.9285668677401)-π/2
    2×1.47954712660076-π/2
    2.95909425320152-1.57079632675     		φ = 1.38829793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48667873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.476196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38829793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.543612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13662 KachelY 15650 -2.48667873 1.38829793 -142.476196 79.543612
    Oben rechts KachelX + 1 13663 KachelY 15650 -2.48663079 1.38829793 -142.473449 79.543612
    Unten links KachelX 13662 KachelY + 1 15651 -2.48667873 1.38828923 -142.476196 79.543114
    Unten rechts KachelX + 1 13663 KachelY + 1 15651 -2.48663079 1.38828923 -142.473449 79.543114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38829793-1.38828923) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dl = 55.4276999998255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38829793-1.38828923) × R
    8.69999999997262e-06 × 6371000     		dr = 55.4276999998255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48667873--2.48663079) × cos(1.38829793) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181487044047595 × 6371000     		do = 55.4308147286131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48667873--2.48663079) × cos(1.38828923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181495599562748 × 6371000     		du = 55.4334278031597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38829793)-sin(1.38828923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181487044047595-0.181495599562748)×R²
    abs(-2.48663079--2.48667873)×8.55551515271946e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.55551515271946e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.55551515271946e-06×40589641000000     		ar = 3072.47498788963m²