Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13658 / 3206
↖ ↑ ↗
← N 80.862365°
W 29.948730°		 ← 193.99 m → N 80.862365°
W 29.937744°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
N 80.860620°
W 29.948730°		 ← 194.03 m →
37 638 m²		 N 80.860620°
W 29.937744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416824340820312 y=0.0978546142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416824340820312 × 215)
    floor (0.416824340820312 × 32768)
    floor (13658.5)     		tx = 13658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978546142578125 × 215)
    floor (0.0978546142578125 × 32768)
    floor (3206.5)     		ty = 3206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13658 / 3206 ti = "15/13658/3206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13658/3206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13658 ÷ 215
    13658 ÷ 32768     		x = 0.41680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3206 ÷ 215
    3206 ÷ 32768     		y = 0.09783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41680908203125 × 2 - 1) × π
    -0.1663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52270395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09783935546875 × 2 - 1) × π
    0.8043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5268498527724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52270395} λ = -0.52270395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5268498527724))-π/2
    2×atan(12.5140229656667)-π/2
    2×1.49105541804031-π/2
    2.98211083608062-1.57079632675     		φ = 1.41131451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52270395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.948730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41131451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.862365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13658 KachelY 3206 -0.52270395 1.41131451 -29.948730 80.862365
    Oben rechts KachelX + 1 13659 KachelY 3206 -0.52251221 1.41131451 -29.937744 80.862365
    Unten links KachelX 13658 KachelY + 1 3207 -0.52270395 1.41128406 -29.948730 80.860620
    Unten rechts KachelX + 1 13659 KachelY + 1 3207 -0.52251221 1.41128406 -29.937744 80.860620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41131451-1.41128406) × R
    3.04499999999042e-05 × 6371000     		dl = 193.996949999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41131451-1.41128406) × R
    3.04499999999042e-05 × 6371000     		dr = 193.996949999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52270395--0.52251221) × cos(1.41131451) × R
    0.000191739999999996 × 0.158806620649704 × 6371000     		do = 193.994283375733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52270395--0.52251221) × cos(1.41128406) × R
    0.000191739999999996 × 0.15883668415665 × 6371000     		du = 194.031008220465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41131451)-sin(1.41128406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158806620649704-0.15883668415665)×R²
    abs(-0.52251221--0.52270395)×3.0063506945871e-05×R²
    0.000191739999999996×3.0063506945871e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.0063506945871e-05×40589641000000     		ar = 37637.8615497159m²