Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13656 / 3208
↖ ↑ ↗
← N 80.858875°
W 29.970703°		 ← 194.08 m → N 80.858875°
W 29.959717°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
N 80.857129°
W 29.970703°		 ← 194.11 m →
37 679 m²		 N 80.857129°
W 29.959717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416763305664062 y=0.0979156494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416763305664062 × 215)
    floor (0.416763305664062 × 32768)
    floor (13656.5)     		tx = 13656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0979156494140625 × 215)
    floor (0.0979156494140625 × 32768)
    floor (3208.5)     		ty = 3208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13656 / 3208 ti = "15/13656/3208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13656/3208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13656 ÷ 215
    13656 ÷ 32768     		x = 0.416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3208 ÷ 215
    3208 ÷ 32768     		y = 0.097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52308745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097900390625 × 2 - 1) × π
    0.80419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52646635757544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52308745} λ = -0.52308745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52646635757544))-π/2
    2×atan(12.5092248180568)-π/2
    2×1.49102496148657-π/2
    2.98204992297313-1.57079632675     		φ = 1.41125360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52308745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.970703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41125360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.858875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13656 KachelY 3208 -0.52308745 1.41125360 -29.970703 80.858875
    Oben rechts KachelX + 1 13657 KachelY 3208 -0.52289570 1.41125360 -29.959717 80.858875
    Unten links KachelX 13656 KachelY + 1 3209 -0.52308745 1.41122313 -29.970703 80.857129
    Unten rechts KachelX + 1 13657 KachelY + 1 3209 -0.52289570 1.41122313 -29.959717 80.857129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41125360-1.41122313) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41125360-1.41122313) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52308745--0.52289570) × cos(1.41125360) × R
    0.000191750000000046 × 0.158866757389322 × 6371000     		do = 194.07786634707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52308745--0.52289570) × cos(1.41122313) × R
    0.000191750000000046 × 0.158896840347548 × 6371000     		du = 194.114616869595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41125360)-sin(1.41122313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158866757389322-0.158896840347548)×R²
    abs(-0.52289570--0.52308745)×3.00829582260131e-05×R²
    0.000191750000000046×3.00829582260131e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.00829582260131e-05×40589641000000     		ar = 37678.8106247312m²