Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1365 / 549
↖ ↑ ↗
← N 82.466069°
W120.014649°		 ← 640.68 m → N 82.466069°
W119.970703°		 →
↑
640.92 m
↓
↑
640.92 m
↓
N 82.460305°
W120.014649°		 ← 641.17 m →
410 785 m²		 N 82.460305°
W119.970703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16668701171875 y=0.06707763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16668701171875 × 213)
    floor (0.16668701171875 × 8192)
    floor (1365.5)     		tx = 1365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06707763671875 × 213)
    floor (0.06707763671875 × 8192)
    floor (549.5)     		ty = 549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1365 / 549 ti = "13/1365/549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1365/549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1365 ÷ 213
    1365 ÷ 8192     		x = 0.1666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 549 ÷ 213
    549 ÷ 8192     		y = 0.0670166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.666748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.09465077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0670166015625 × 2 - 1) × π
    0.865966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.72051492723743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09465077} λ = -2.09465077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.72051492723743))-π/2
    2×atan(15.1881410192279)-π/2
    2×1.50505037802479-π/2
    3.01010075604959-1.57079632675     		φ = 1.43930443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09465077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.014649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43930443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.466069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1365 KachelY 549 -2.09465077 1.43930443 -120.014649 82.466069
    Oben rechts KachelX + 1 1366 KachelY 549 -2.09388378 1.43930443 -119.970703 82.466069
    Unten links KachelX 1365 KachelY + 1 550 -2.09465077 1.43920383 -120.014649 82.460305
    Unten rechts KachelX + 1 1366 KachelY + 1 550 -2.09388378 1.43920383 -119.970703 82.460305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43930443-1.43920383) × R
    0.000100599999999895 × 6371000     		dl = 640.922599999332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43930443-1.43920383) × R
    0.000100599999999895 × 6371000     		dr = 640.922599999332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09465077--2.09388378) × cos(1.43930443) × R
    0.000766989999999801 × 0.131113305815145 × 6371000     		do = 640.684289095257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09465077--2.09388378) × cos(1.43920383) × R
    0.000766989999999801 × 0.131213036710907 × 6371000     		du = 641.171623448205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43930443)-sin(1.43920383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131113305815145-0.131213036710907)×R²
    abs(-2.09388378--2.09465077)×9.97308957622067e-05×R²
    0.000766989999999801×9.97308957622067e-05×6371000²
    0.000766989999999801×9.97308957622067e-05×40589641000000     		ar = 410785.212491827m²