Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13645 / 3503
↖ ↑ ↗
← N 80.329352°
W 30.091553°		 ← 205.22 m → N 80.329352°
W 30.080566°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
N 80.327506°
W 30.091553°		 ← 205.26 m →
42 116 m²		 N 80.327506°
W 30.080566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416427612304688 y=0.106918334960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416427612304688 × 215)
    floor (0.416427612304688 × 32768)
    floor (13645.5)     		tx = 13645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106918334960938 × 215)
    floor (0.106918334960938 × 32768)
    floor (3503.5)     		ty = 3503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13645 / 3503 ti = "15/13645/3503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13645/3503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13645 ÷ 215
    13645 ÷ 32768     		x = 0.416412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3503 ÷ 215
    3503 ÷ 32768     		y = 0.106903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.16717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52519667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106903076171875 × 2 - 1) × π
    0.78619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46990081602377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52519667} λ = -0.52519667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46990081602377))-π/2
    2×atan(11.8212743125084)-π/2
    2×1.48640399953538-π/2
    2.97280799907076-1.57079632675     		φ = 1.40201167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52519667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.091553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40201167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.329352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13645 KachelY 3503 -0.52519667 1.40201167 -30.091553 80.329352
    Oben rechts KachelX + 1 13646 KachelY 3503 -0.52500492 1.40201167 -30.080566 80.329352
    Unten links KachelX 13645 KachelY + 1 3504 -0.52519667 1.40197946 -30.091553 80.327506
    Unten rechts KachelX + 1 13646 KachelY + 1 3504 -0.52500492 1.40197946 -30.080566 80.327506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40201167-1.40197946) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dl = 205.209910000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40201167-1.40197946) × R
    3.2210000000088e-05 × 6371000     		dr = 205.209910000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52519667--0.52500492) × cos(1.40201167) × R
    0.000191750000000046 × 0.167984400666206 × 6371000     		do = 205.216337241612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52519667--0.52500492) × cos(1.40197946) × R
    0.000191750000000046 × 0.168016152863802 × 6371000     		du = 205.25512697247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40201167)-sin(1.40197946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167984400666206-0.168016152863802)×R²
    abs(-0.52500492--0.52519667)×3.17521975962964e-05×R²
    0.000191750000000046×3.17521975962964e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.17521975962964e-05×40589641000000     		ar = 42116.4061181162m²