Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13644 / 3502
↖ ↑ ↗
← N 80.331197°
W 30.102539°		 ← 205.18 m → N 80.331197°
W 30.091553°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
N 80.329352°
W 30.102539°		 ← 205.22 m →
42 108 m²		 N 80.329352°
W 30.091553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416397094726562 y=0.106887817382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416397094726562 × 215)
    floor (0.416397094726562 × 32768)
    floor (13644.5)     		tx = 13644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106887817382812 × 215)
    floor (0.106887817382812 × 32768)
    floor (3502.5)     		ty = 3502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13644 / 3502 ti = "15/13644/3502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13644/3502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13644 ÷ 215
    13644 ÷ 32768     		x = 0.4163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3502 ÷ 215
    3502 ÷ 32768     		y = 0.10687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52538842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10687255859375 × 2 - 1) × π
    0.7862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47009256362225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52538842} λ = -0.52538842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47009256362225))-π/2
    2×atan(11.8235412307999)-π/2
    2×1.48642010331583-π/2
    2.97284020663166-1.57079632675     		φ = 1.40204388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52538842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.102539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40204388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.331197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13644 KachelY 3502 -0.52538842 1.40204388 -30.102539 80.331197
    Oben rechts KachelX + 1 13645 KachelY 3502 -0.52519667 1.40204388 -30.091553 80.331197
    Unten links KachelX 13644 KachelY + 1 3503 -0.52538842 1.40201167 -30.102539 80.329352
    Unten rechts KachelX + 1 13645 KachelY + 1 3503 -0.52519667 1.40201167 -30.091553 80.329352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40204388-1.40201167) × R
    3.2209999999866e-05 × 6371000     		dl = 205.209909999146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40204388-1.40201167) × R
    3.2209999999866e-05 × 6371000     		dr = 205.209909999146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52538842--0.52519667) × cos(1.40204388) × R
    0.000191749999999935 × 0.167952648294329 × 6371000     		do = 205.177547297728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52538842--0.52519667) × cos(1.40201167) × R
    0.000191749999999935 × 0.167984400666206 × 6371000     		du = 205.216337241494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40204388)-sin(1.40201167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167952648294329-0.167984400666206)×R²
    abs(-0.52519667--0.52538842)×3.17523718772195e-05×R²
    0.000191749999999935×3.17523718772195e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.17523718772195e-05×40589641000000     		ar = 42108.4460588919m²