Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13643 / 3435
↖ ↑ ↗
← N 80.454045°
W 30.113526°		 ← 202.59 m → N 80.454045°
W 30.102539°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
N 80.452222°
W 30.113526°		 ← 202.63 m →
41 062 m²		 N 80.452222°
W 30.102539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416366577148438 y=0.104843139648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416366577148438 × 215)
    floor (0.416366577148438 × 32768)
    floor (13643.5)     		tx = 13643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104843139648438 × 215)
    floor (0.104843139648438 × 32768)
    floor (3435.5)     		ty = 3435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13643 / 3435 ti = "15/13643/3435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13643/3435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13643 ÷ 215
    13643 ÷ 32768     		x = 0.416351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3435 ÷ 215
    3435 ÷ 32768     		y = 0.104827880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.16729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52558017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104827880859375 × 2 - 1) × π
    0.79034423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48293965272043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52558017} λ = -0.52558017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48293965272043))-π/2
    2×atan(11.9764192344405)-π/2
    2×1.4874921509515-π/2
    2.97498430190299-1.57079632675     		φ = 1.40418798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52558017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.113526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40418798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.454045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13643 KachelY 3435 -0.52558017 1.40418798 -30.113526 80.454045
    Oben rechts KachelX + 1 13644 KachelY 3435 -0.52538842 1.40418798 -30.102539 80.454045
    Unten links KachelX 13643 KachelY + 1 3436 -0.52558017 1.40415617 -30.113526 80.452222
    Unten rechts KachelX + 1 13644 KachelY + 1 3436 -0.52538842 1.40415617 -30.102539 80.452222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40418798-1.40415617) × R
    3.18099999998545e-05 × 6371000     		dl = 202.661509999073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40418798-1.40415617) × R
    3.18099999998545e-05 × 6371000     		dr = 202.661509999073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52558017--0.52538842) × cos(1.40418798) × R
    0.000191750000000046 × 0.165838620664513 × 6371000     		do = 202.594968169678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52558017--0.52538842) × cos(1.40415617) × R
    0.000191750000000046 × 0.165869990104509 × 6371000     		du = 202.633290308828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40418798)-sin(1.40415617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165838620664513-0.165869990104509)×R²
    abs(-0.52538842--0.52558017)×3.13694399962094e-05×R²
    0.000191750000000046×3.13694399962094e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.13694399962094e-05×40589641000000     		ar = 41062.0853824653m²