Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13640 / 3812
↖ ↑ ↗
← N 79.742109°
W 30.146484°		 ← 217.55 m → N 79.742109°
W 30.135498°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
N 79.740153°
W 30.146484°		 ← 217.59 m →
47 336 m²		 N 79.740153°
W 30.135498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416275024414062 y=0.116348266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416275024414062 × 215)
    floor (0.416275024414062 × 32768)
    floor (13640.5)     		tx = 13640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116348266601562 × 215)
    floor (0.116348266601562 × 32768)
    floor (3812.5)     		ty = 3812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13640 / 3812 ti = "15/13640/3812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13640/3812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13640 ÷ 215
    13640 ÷ 32768     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3812 ÷ 215
    3812 ÷ 32768     		y = 0.1163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1163330078125 × 2 - 1) × π
    0.767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41065080809338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41065080809338))-π/2
    2×atan(11.1412095755027)-π/2
    2×1.48127934316635-π/2
    2.96255868633269-1.57079632675     		φ = 1.39176236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39176236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.742109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13640 KachelY 3812 -0.52615541 1.39176236 -30.146484 79.742109
    Oben rechts KachelX + 1 13641 KachelY 3812 -0.52596366 1.39176236 -30.135498 79.742109
    Unten links KachelX 13640 KachelY + 1 3813 -0.52615541 1.39172821 -30.146484 79.740153
    Unten rechts KachelX + 1 13641 KachelY + 1 3813 -0.52596366 1.39172821 -30.135498 79.740153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39176236-1.39172821) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dl = 217.569650000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39176236-1.39172821) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dr = 217.569650000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52596366) × cos(1.39176236) × R
    0.000191749999999935 × 0.178079064360789 × 6371000     		do = 217.548374626342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52596366) × cos(1.39172821) × R
    0.000191749999999935 × 0.178112668409565 × 6371000     		du = 217.589426651286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39176236)-sin(1.39172821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178079064360789-0.178112668409565)×R²
    abs(-0.52596366--0.52615541)×3.36040487758649e-05×R²
    0.000191749999999935×3.36040487758649e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.36040487758649e-05×40589641000000     		ar = 47336.3895676542m²