Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13640 / 21309
↖ ↑ ↗
← S 47.494937°
W 30.146484°		 ← 825.41 m → S 47.494937°
W 30.135498°		 →
↑
825.36 m
↓
↑
825.36 m
↓
S 47.502359°
W 30.146484°		 ← 825.29 m →
681 212 m²		 S 47.502359°
W 30.135498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416275024414062 y=0.650314331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416275024414062 × 215)
    floor (0.416275024414062 × 32768)
    floor (13640.5)     		tx = 13640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650314331054688 × 215)
    floor (0.650314331054688 × 32768)
    floor (21309.5)     		ty = 21309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13640 / 21309 ti = "15/13640/21309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13640/21309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13640 ÷ 215
    13640 ÷ 32768     		x = 0.416259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21309 ÷ 215
    21309 ÷ 32768     		y = 0.650299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    -0.16748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52615541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.30059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.944356922515106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52615541} λ = -0.52615541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944356922515106))-π/2
    2×atan(0.388929602368825)-π/2
    2×0.370926653386596-π/2
    0.741853306773191-1.57079632675     		φ = -0.82894302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52615541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.146484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82894302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.494937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13640 KachelY 21309 -0.52615541 -0.82894302 -30.146484 -47.494937
    Oben rechts KachelX + 1 13641 KachelY 21309 -0.52596366 -0.82894302 -30.135498 -47.494937
    Unten links KachelX 13640 KachelY + 1 21310 -0.52615541 -0.82907257 -30.146484 -47.502359
    Unten rechts KachelX + 1 13641 KachelY + 1 21310 -0.52596366 -0.82907257 -30.135498 -47.502359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82894302--0.82907257) × R
    0.000129550000000034 × 6371000     		dl = 825.363050000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82894302--0.82907257) × R
    0.000129550000000034 × 6371000     		dr = 825.363050000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52615541--0.52596366) × cos(-0.82894302) × R
    0.000191749999999935 × 0.675655361638838 × 6371000     		do = 825.407109250669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52615541--0.52596366) × cos(-0.82907257) × R
    0.000191749999999935 × 0.675559849425457 × 6371000     		du = 825.290427781949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82894302)-sin(-0.82907257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675655361638838-0.675559849425457)×R²
    abs(-0.52596366--0.52615541)×9.55122133808883e-05×R²
    0.000191749999999935×9.55122133808883e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.55122133808883e-05×40589641000000     		ar = 681212.377849827m²