Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13639 / 3813
↖ ↑ ↗
← N 79.740153°
W 30.157471°		 ← 217.59 m → N 79.740153°
W 30.146484°		 →
↑
217.63 m
↓
↑
217.63 m
↓
N 79.738195°
W 30.157471°		 ← 217.63 m →
47 359 m²		 N 79.738195°
W 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416244506835938 y=0.116378784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416244506835938 × 215)
    floor (0.416244506835938 × 32768)
    floor (13639.5)     		tx = 13639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116378784179688 × 215)
    floor (0.116378784179688 × 32768)
    floor (3813.5)     		ty = 3813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13639 / 3813 ti = "15/13639/3813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13639/3813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13639 ÷ 215
    13639 ÷ 32768     		x = 0.416229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3813 ÷ 215
    3813 ÷ 32768     		y = 0.116363525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.16754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52634716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116363525390625 × 2 - 1) × π
    0.76727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4104590604949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52634716} λ = -0.52634716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4104590604949))-π/2
    2×atan(11.1390734801245)-π/2
    2×1.48126226843904-π/2
    2.96252453687808-1.57079632675     		φ = 1.39172821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52634716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.157471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39172821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.740153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13639 KachelY 3813 -0.52634716 1.39172821 -30.157471 79.740153
    Oben rechts KachelX + 1 13640 KachelY 3813 -0.52615541 1.39172821 -30.146484 79.740153
    Unten links KachelX 13639 KachelY + 1 3814 -0.52634716 1.39169405 -30.157471 79.738195
    Unten rechts KachelX + 1 13640 KachelY + 1 3814 -0.52615541 1.39169405 -30.146484 79.738195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39172821-1.39169405) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dl = 217.633360000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39172821-1.39169405) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dr = 217.633360000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52634716--0.52615541) × cos(1.39172821) × R
    0.000191750000000046 × 0.178112668409565 × 6371000     		do = 217.589426651412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52634716--0.52615541) × cos(1.39169405) × R
    0.000191750000000046 × 0.178146282090662 × 6371000     		du = 217.630490443577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39172821)-sin(1.39169405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178112668409565-0.178146282090662)×R²
    abs(-0.52615541--0.52634716)×3.36136810969445e-05×R²
    0.000191750000000046×3.36136810969445e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.36136810969445e-05×40589641000000     		ar = 47359.1864526773m²