Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13639 / 21308
↖ ↑ ↗
← S 47.487513°
W 30.157471°		 ← 825.52 m → S 47.487513°
W 30.146484°		 →
↑
825.43 m
↓
↑
825.43 m
↓
S 47.494937°
W 30.157471°		 ← 825.41 m →
681 361 m²		 S 47.494937°
W 30.146484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416244506835938 y=0.650283813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416244506835938 × 215)
    floor (0.416244506835938 × 32768)
    floor (13639.5)     		tx = 13639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650283813476562 × 215)
    floor (0.650283813476562 × 32768)
    floor (21308.5)     		ty = 21308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13639 / 21308 ti = "15/13639/21308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13639/21308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13639 ÷ 215
    13639 ÷ 32768     		x = 0.416229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21308 ÷ 215
    21308 ÷ 32768     		y = 0.6502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.16754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52634716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.300537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.944165174916626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52634716} λ = -0.52634716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944165174916626))-π/2
    2×atan(0.389004185836429)-π/2
    2×0.3709914356116-π/2
    0.741982871223201-1.57079632675     		φ = -0.82881346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52634716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.157471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82881346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.487513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13639 KachelY 21308 -0.52634716 -0.82881346 -30.157471 -47.487513
    Oben rechts KachelX + 1 13640 KachelY 21308 -0.52615541 -0.82881346 -30.146484 -47.487513
    Unten links KachelX 13639 KachelY + 1 21309 -0.52634716 -0.82894302 -30.157471 -47.494937
    Unten rechts KachelX + 1 13640 KachelY + 1 21309 -0.52615541 -0.82894302 -30.146484 -47.494937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82881346--0.82894302) × R
    0.000129559999999973 × 6371000     		dl = 825.426759999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82881346--0.82894302) × R
    0.000129559999999973 × 6371000     		dr = 825.426759999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52634716--0.52615541) × cos(-0.82881346) × R
    0.000191750000000046 × 0.675750869883859 × 6371000     		do = 825.523785871963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52634716--0.52615541) × cos(-0.82894302) × R
    0.000191750000000046 × 0.675655361638838 × 6371000     		du = 825.407109251147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82881346)-sin(-0.82894302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675750869883859-0.675655361638838)×R²
    abs(-0.52615541--0.52634716)×9.55082450209144e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55082450209144e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55082450209144e-05×40589641000000     		ar = 681361.270825591m²