Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13638 / 3786
↖ ↑ ↗
← N 79.792852°
W 30.168457°		 ← 216.48 m → N 79.792852°
W 30.157471°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
N 79.790905°
W 30.168457°		 ← 216.52 m →
46 870 m²		 N 79.790905°
W 30.157471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416213989257812 y=0.115554809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416213989257812 × 215)
    floor (0.416213989257812 × 32768)
    floor (13638.5)     		tx = 13638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115554809570312 × 215)
    floor (0.115554809570312 × 32768)
    floor (3786.5)     		ty = 3786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13638 / 3786 ti = "15/13638/3786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13638/3786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13638 ÷ 215
    13638 ÷ 32768     		x = 0.41619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3786 ÷ 215
    3786 ÷ 32768     		y = 0.11553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.1676025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52653891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11553955078125 × 2 - 1) × π
    0.7689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41563624565387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52653891} λ = -0.52653891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41563624565387))-π/2
    2×atan(11.1968920656482)-π/2
    2×1.48172215708195-π/2
    2.96344431416389-1.57079632675     		φ = 1.39264799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52653891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.168457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39264799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.792852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13638 KachelY 3786 -0.52653891 1.39264799 -30.168457 79.792852
    Oben rechts KachelX + 1 13639 KachelY 3786 -0.52634716 1.39264799 -30.157471 79.792852
    Unten links KachelX 13638 KachelY + 1 3787 -0.52653891 1.39261401 -30.168457 79.790905
    Unten rechts KachelX + 1 13639 KachelY + 1 3787 -0.52634716 1.39261401 -30.157471 79.790905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39264799-1.39261401) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39264799-1.39261401) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52653891--0.52634716) × cos(1.39264799) × R
    0.000191749999999935 × 0.177207520385961 × 6371000     		do = 216.483662298591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52653891--0.52634716) × cos(1.39261401) × R
    0.000191749999999935 × 0.177240962499466 × 6371000     		du = 216.524516497052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39264799)-sin(1.39261401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177207520385961-0.177240962499466)×R²
    abs(-0.52634716--0.52653891)×3.34421135049223e-05×R²
    0.000191749999999935×3.34421135049223e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.34421135049223e-05×40589641000000     		ar = 46870.2298749196m²