Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13637 / 3760
↖ ↑ ↗
← N 79.843346°
W 30.179443°		 ← 215.41 m → N 79.843346°
W 30.168457°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
N 79.841409°
W 30.179443°		 ← 215.45 m →
46 419 m²		 N 79.841409°
W 30.168457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416183471679688 y=0.114761352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416183471679688 × 215)
    floor (0.416183471679688 × 32768)
    floor (13637.5)     		tx = 13637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114761352539062 × 215)
    floor (0.114761352539062 × 32768)
    floor (3760.5)     		ty = 3760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13637 / 3760 ti = "15/13637/3760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13637/3760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13637 ÷ 215
    13637 ÷ 32768     		x = 0.416168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3760 ÷ 215
    3760 ÷ 32768     		y = 0.11474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.16766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52673065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11474609375 × 2 - 1) × π
    0.7705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42062168321436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52673065} λ = -0.52673065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42062168321436))-π/2
    2×atan(11.2528528505055)-π/2
    2×1.4821628036372-π/2
    2.96432560727441-1.57079632675     		φ = 1.39352928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52673065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.179443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39352928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.843346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13637 KachelY 3760 -0.52673065 1.39352928 -30.179443 79.843346
    Oben rechts KachelX + 1 13638 KachelY 3760 -0.52653891 1.39352928 -30.168457 79.843346
    Unten links KachelX 13637 KachelY + 1 3761 -0.52673065 1.39349546 -30.179443 79.841409
    Unten rechts KachelX + 1 13638 KachelY + 1 3761 -0.52653891 1.39349546 -30.168457 79.841409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39352928-1.39349546) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dl = 215.467220000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39352928-1.39349546) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dr = 215.467220000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52673065--0.52653891) × cos(1.39352928) × R
    0.000191739999999996 × 0.176340109410918 × 6371000     		do = 215.412764377297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52673065--0.52653891) × cos(1.39349546) × R
    0.000191739999999996 × 0.176373399326904 × 6371000     		du = 215.453430524393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39352928)-sin(1.39349546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176340109410918-0.176373399326904)×R²
    abs(-0.52653891--0.52673065)×3.32899159851685e-05×R²
    0.000191739999999996×3.32899159851685e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.32899159851685e-05×40589641000000     		ar = 46418.7706081181m²