Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13635 / 3777
↖ ↑ ↗
← N 79.810359°
W 30.201416°		 ← 216.12 m → N 79.810359°
W 30.190430°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 79.808415°
W 30.201416°		 ← 216.16 m →
46 708 m²		 N 79.808415°
W 30.190430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416122436523438 y=0.115280151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416122436523438 × 215)
    floor (0.416122436523438 × 32768)
    floor (13635.5)     		tx = 13635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115280151367188 × 215)
    floor (0.115280151367188 × 32768)
    floor (3777.5)     		ty = 3777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13635 / 3777 ti = "15/13635/3777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13635/3777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13635 ÷ 215
    13635 ÷ 32768     		x = 0.416107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3777 ÷ 215
    3777 ÷ 32768     		y = 0.115264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.16778564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52711415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115264892578125 × 2 - 1) × π
    0.76947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41736197404019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52711415} λ = -0.52711415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41736197404019))-π/2
    2×atan(11.216231542667)-π/2
    2×1.48187493333035-π/2
    2.9637498666607-1.57079632675     		φ = 1.39295354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52711415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.201416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39295354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.810359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13635 KachelY 3777 -0.52711415 1.39295354 -30.201416 79.810359
    Oben rechts KachelX + 1 13636 KachelY 3777 -0.52692240 1.39295354 -30.190430 79.810359
    Unten links KachelX 13635 KachelY + 1 3778 -0.52711415 1.39291962 -30.201416 79.808415
    Unten rechts KachelX + 1 13636 KachelY + 1 3778 -0.52692240 1.39291962 -30.190430 79.808415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39295354-1.39291962) × R
    3.39199999999096e-05 × 6371000     		dl = 216.104319999424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39295354-1.39291962) × R
    3.39199999999096e-05 × 6371000     		dr = 216.104319999424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52711415--0.52692240) × cos(1.39295354) × R
    0.000191749999999935 × 0.176906797903017 × 6371000     		do = 216.11628791007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52711415--0.52692240) × cos(1.39291962) × R
    0.000191749999999935 × 0.176940182801711 × 6371000     		du = 216.157072212672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39295354)-sin(1.39291962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176906797903017-0.176940182801711)×R²
    abs(-0.52692240--0.52711415)×3.33848986940888e-05×R²
    0.000191749999999935×3.33848986940888e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.33848986940888e-05×40589641000000     		ar = 46708.0702762171m²