Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13634 / 3782
↖ ↑ ↗
← N 79.800636°
W 30.212403°		 ← 216.32 m → N 79.800636°
W 30.201416°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
N 79.798691°
W 30.212403°		 ← 216.36 m →
46 794 m²		 N 79.798691°
W 30.201416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416091918945312 y=0.115432739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416091918945312 × 215)
    floor (0.416091918945312 × 32768)
    floor (13634.5)     		tx = 13634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115432739257812 × 215)
    floor (0.115432739257812 × 32768)
    floor (3782.5)     		ty = 3782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13634 / 3782 ti = "15/13634/3782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13634/3782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13634 ÷ 215
    13634 ÷ 32768     		x = 0.41607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3782 ÷ 215
    3782 ÷ 32768     		y = 0.11541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52730590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11541748046875 × 2 - 1) × π
    0.7691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41640323604779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52730590} λ = -0.52730590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41640323604779))-π/2
    2×atan(11.2054832685682)-π/2
    2×1.48179008967292-π/2
    2.96358017934585-1.57079632675     		φ = 1.39278385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52730590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.212403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39278385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.800636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13634 KachelY 3782 -0.52730590 1.39278385 -30.212403 79.800636
    Oben rechts KachelX + 1 13635 KachelY 3782 -0.52711415 1.39278385 -30.201416 79.800636
    Unten links KachelX 13634 KachelY + 1 3783 -0.52730590 1.39274990 -30.212403 79.798691
    Unten rechts KachelX + 1 13635 KachelY + 1 3783 -0.52711415 1.39274990 -30.201416 79.798691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39278385-1.39274990) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39278385-1.39274990) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52730590--0.52711415) × cos(1.39278385) × R
    0.000191750000000046 × 0.177073808938072 × 6371000     		do = 216.320315145802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52730590--0.52711415) × cos(1.39274990) × R
    0.000191750000000046 × 0.177107222343681 × 6371000     		du = 216.36113427357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39278385)-sin(1.39274990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177073808938072-0.177107222343681)×R²
    abs(-0.52711415--0.52730590)×3.3413405609195e-05×R²
    0.000191750000000046×3.3413405609195e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.3413405609195e-05×40589641000000     		ar = 46793.5144086851m²