Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13634 / 21310
↖ ↑ ↗
← S 47.502359°
W 30.212403°		 ← 825.29 m → S 47.502359°
W 30.201416°		 →
↑
825.17 m
↓
↑
825.17 m
↓
S 47.509780°
W 30.212403°		 ← 825.17 m →
680 958 m²		 S 47.509780°
W 30.201416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416091918945312 y=0.650344848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416091918945312 × 215)
    floor (0.416091918945312 × 32768)
    floor (13634.5)     		tx = 13634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650344848632812 × 215)
    floor (0.650344848632812 × 32768)
    floor (21310.5)     		ty = 21310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13634 / 21310 ti = "15/13634/21310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13634/21310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13634 ÷ 215
    13634 ÷ 32768     		x = 0.41607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21310 ÷ 215
    21310 ÷ 32768     		y = 0.65032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.1678466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52730590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.3006591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.944548670113586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52730590} λ = -0.52730590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944548670113586))-π/2
    2×atan(0.388855033201051)-π/2
    2×0.37086188031854-π/2
    0.74172376063708-1.57079632675     		φ = -0.82907257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52730590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.212403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82907257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.502359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13634 KachelY 21310 -0.52730590 -0.82907257 -30.212403 -47.502359
    Oben rechts KachelX + 1 13635 KachelY 21310 -0.52711415 -0.82907257 -30.201416 -47.502359
    Unten links KachelX 13634 KachelY + 1 21311 -0.52730590 -0.82920209 -30.212403 -47.509780
    Unten rechts KachelX + 1 13635 KachelY + 1 21311 -0.52711415 -0.82920209 -30.201416 -47.509780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82907257--0.82920209) × R
    0.000129519999999994 × 6371000     		dl = 825.171919999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82907257--0.82920209) × R
    0.000129519999999994 × 6371000     		dr = 825.171919999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52730590--0.52711415) × cos(-0.82907257) × R
    0.000191750000000046 × 0.675559849425457 × 6371000     		do = 825.290427782426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52730590--0.52711415) × cos(-0.82920209) × R
    0.000191750000000046 × 0.675464347995798 × 6371000     		du = 825.173759487524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82907257)-sin(-0.82920209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675559849425457-0.675464347995798)×R²
    abs(-0.52711415--0.52730590)×9.55014296589729e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55014296589729e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55014296589729e-05×40589641000000     		ar = 680958.352102503m²