Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13631 / 4671
↖ ↑ ↗
← N 77.917969°
W 30.245361°		 ← 255.70 m → N 77.917969°
W 30.234375°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
N 77.915669°
W 30.245361°		 ← 255.75 m →
65 398 m²		 N 77.915669°
W 30.234375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.416000366210938 y=0.142562866210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.416000366210938 × 215)
    floor (0.416000366210938 × 32768)
    floor (13631.5)     		tx = 13631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142562866210938 × 215)
    floor (0.142562866210938 × 32768)
    floor (4671.5)     		ty = 4671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13631 / 4671 ti = "15/13631/4671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13631/4671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13631 ÷ 215
    13631 ÷ 32768     		x = 0.415985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4671 ÷ 215
    4671 ÷ 32768     		y = 0.142547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.16802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52788114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142547607421875 × 2 - 1) × π
    0.71490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24593962099887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52788114} λ = -0.52788114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24593962099887))-π/2
    2×atan(9.44929013787386)-π/2
    2×1.46536071415253-π/2
    2.93072142830505-1.57079632675     		φ = 1.35992510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52788114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.245361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35992510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.917969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13631 KachelY 4671 -0.52788114 1.35992510 -30.245361 77.917969
    Oben rechts KachelX + 1 13632 KachelY 4671 -0.52768939 1.35992510 -30.234375 77.917969
    Unten links KachelX 13631 KachelY + 1 4672 -0.52788114 1.35988496 -30.245361 77.915669
    Unten rechts KachelX + 1 13632 KachelY + 1 4672 -0.52768939 1.35988496 -30.234375 77.915669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35992510-1.35988496) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dl = 255.731940000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35992510-1.35988496) × R
    4.01400000000773e-05 × 6371000     		dr = 255.731940000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52788114--0.52768939) × cos(1.35992510) × R
    0.000191749999999935 × 0.209311907363158 × 6371000     		do = 255.703641527111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52788114--0.52768939) × cos(1.35988496) × R
    0.000191749999999935 × 0.209351158050482 × 6371000     		du = 255.751591707336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35992510)-sin(1.35988496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209311907363158-0.209351158050482)×R²
    abs(-0.52768939--0.52788114)×3.92506873243548e-05×R²
    0.000191749999999935×3.92506873243548e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.92506873243548e-05×40589641000000     		ar = 65397.7195175833m²