Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13627 / 3243
↖ ↑ ↗
← N 80.797585°
W 30.289307°		 ← 195.37 m → N 80.797585°
W 30.278320°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
N 80.795827°
W 30.289307°		 ← 195.40 m →
38 178 m²		 N 80.795827°
W 30.278320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415878295898438 y=0.0989837646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415878295898438 × 215)
    floor (0.415878295898438 × 32768)
    floor (13627.5)     		tx = 13627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0989837646484375 × 215)
    floor (0.0989837646484375 × 32768)
    floor (3243.5)     		ty = 3243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13627 / 3243 ti = "15/13627/3243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13627/3243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13627 ÷ 215
    13627 ÷ 32768     		x = 0.415863037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3243 ÷ 215
    3243 ÷ 32768     		y = 0.098968505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.16827392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.52864813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098968505859375 × 2 - 1) × π
    0.80206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51975519162863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52864813} λ = -0.52864813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51975519162863))-π/2
    2×atan(12.4255544114695)-π/2
    2×1.49049010097077-π/2
    2.98098020194154-1.57079632675     		φ = 1.41018388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52864813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.289307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41018388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.797585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13627 KachelY 3243 -0.52864813 1.41018388 -30.289307 80.797585
    Oben rechts KachelX + 1 13628 KachelY 3243 -0.52845638 1.41018388 -30.278320 80.797585
    Unten links KachelX 13627 KachelY + 1 3244 -0.52864813 1.41015321 -30.289307 80.795827
    Unten rechts KachelX + 1 13628 KachelY + 1 3244 -0.52845638 1.41015321 -30.278320 80.795827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41018388-1.41015321) × R
    3.06699999998994e-05 × 6371000     		dl = 195.398569999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41018388-1.41015321) × R
    3.06699999998994e-05 × 6371000     		dr = 195.398569999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52864813--0.52845638) × cos(1.41018388) × R
    0.000191750000000046 × 0.159922800882568 × 6371000     		do = 195.367970528126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52864813--0.52845638) × cos(1.41015321) × R
    0.000191750000000046 × 0.159953076069858 × 6371000     		du = 195.404955885221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41018388)-sin(1.41015321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159922800882568-0.159953076069858)×R²
    abs(-0.52845638--0.52864813)×3.02751872900131e-05×R²
    0.000191750000000046×3.02751872900131e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.02751872900131e-05×40589641000000     		ar = 38178.2355103623m²