Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13625 / 3239
↖ ↑ ↗
← N 80.804610°
W 30.311279°		 ← 195.21 m → N 80.804610°
W 30.300293°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 80.802854°
W 30.311279°		 ← 195.25 m →
38 122 m²		 N 80.802854°
W 30.300293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415817260742188 y=0.0988616943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415817260742188 × 215)
    floor (0.415817260742188 × 32768)
    floor (13625.5)     		tx = 13625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988616943359375 × 215)
    floor (0.0988616943359375 × 32768)
    floor (3239.5)     		ty = 3239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13625 / 3239 ti = "15/13625/3239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13625/3239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13625 ÷ 215
    13625 ÷ 32768     		x = 0.415802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3239 ÷ 215
    3239 ÷ 32768     		y = 0.098846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.16839599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52903162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098846435546875 × 2 - 1) × π
    0.80230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52052218202255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52903162} λ = -0.52903162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52052218202255))-π/2
    2×atan(12.4350883480938)-π/2
    2×1.49055140738742-π/2
    2.98110281477485-1.57079632675     		φ = 1.41030649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52903162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.311279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41030649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.804610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13625 KachelY 3239 -0.52903162 1.41030649 -30.311279 80.804610
    Oben rechts KachelX + 1 13626 KachelY 3239 -0.52883988 1.41030649 -30.300293 80.804610
    Unten links KachelX 13625 KachelY + 1 3240 -0.52903162 1.41027584 -30.311279 80.802854
    Unten rechts KachelX + 1 13626 KachelY + 1 3240 -0.52883988 1.41027584 -30.300293 80.802854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41030649-1.41027584) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41030649-1.41027584) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52903162--0.52883988) × cos(1.41030649) × R
    0.000191739999999996 × 0.159801767729819 × 6371000     		do = 195.209930707504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52903162--0.52883988) × cos(1.41027584) × R
    0.000191739999999996 × 0.159832023775436 × 6371000     		du = 195.246890752766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41030649)-sin(1.41027584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159801767729819-0.159832023775436)×R²
    abs(-0.52883988--0.52903162)×3.02560456165168e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02560456165168e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02560456165168e-05×40589641000000     		ar = 38122.4762791002m²