Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13625 / 3001
↖ ↑ ↗
← N 81.213175°
W 30.311279°		 ← 186.61 m → N 81.213175°
W 30.300293°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
N 81.211497°
W 30.311279°		 ← 186.64 m →
34 825 m²		 N 81.211497°
W 30.300293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415817260742188 y=0.0915985107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415817260742188 × 215)
    floor (0.415817260742188 × 32768)
    floor (13625.5)     		tx = 13625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0915985107421875 × 215)
    floor (0.0915985107421875 × 32768)
    floor (3001.5)     		ty = 3001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13625 / 3001 ti = "15/13625/3001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13625/3001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13625 ÷ 215
    13625 ÷ 32768     		x = 0.415802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3001 ÷ 215
    3001 ÷ 32768     		y = 0.091583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.16839599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52903162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091583251953125 × 2 - 1) × π
    0.81683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56615811046085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52903162} λ = -0.52903162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56615811046085))-π/2
    2×atan(13.0157232898635)-π/2
    2×1.49411681439172-π/2
    2.98823362878345-1.57079632675     		φ = 1.41743730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52903162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.311279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41743730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.213175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13625 KachelY 3001 -0.52903162 1.41743730 -30.311279 81.213175
    Oben rechts KachelX + 1 13626 KachelY 3001 -0.52883988 1.41743730 -30.300293 81.213175
    Unten links KachelX 13625 KachelY + 1 3002 -0.52903162 1.41740801 -30.311279 81.211497
    Unten rechts KachelX + 1 13626 KachelY + 1 3002 -0.52883988 1.41740801 -30.300293 81.211497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41743730-1.41740801) × R
    2.92900000000706e-05 × 6371000     		dl = 186.60659000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41743730-1.41740801) × R
    2.92900000000706e-05 × 6371000     		dr = 186.60659000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52903162--0.52883988) × cos(1.41743730) × R
    0.000191739999999996 × 0.152758591713664 × 6371000     		do = 186.606159162255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52903162--0.52883988) × cos(1.41740801) × R
    0.000191739999999996 × 0.152787537887045 × 6371000     		du = 186.641519099633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41743730)-sin(1.41740801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152758591713664-0.152787537887045)×R²
    abs(-0.52883988--0.52903162)×2.89461733810337e-05×R²
    0.000191739999999996×2.89461733810337e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.89461733810337e-05×40589641000000     		ar = 34825.2382352813m²