Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13625 / 12550
↖ ↑ ↗
← S 68.704486°
E119.377442°		 ← 887.32 m → S 68.704486°
E119.399414°		 →
↑
887.16 m
↓
↑
887.16 m
↓
S 68.712465°
E119.377442°		 ← 887.01 m →
787 058 m²		 S 68.712465°
E119.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831634521484375 y=0.766021728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831634521484375 × 214)
    floor (0.831634521484375 × 16384)
    floor (13625.5)     		tx = 13625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766021728515625 × 214)
    floor (0.766021728515625 × 16384)
    floor (12550.5)     		ty = 12550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13625 / 12550 ti = "14/13625/12550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13625/12550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13625 ÷ 214
    13625 ÷ 16384     		x = 0.83160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12550 ÷ 214
    12550 ÷ 16384     		y = 0.7659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83160400390625 × 2 - 1) × π
    0.6632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.08352941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67127206835364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08352941} λ = 2.08352941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67127206835364))-π/2
    2×atan(0.188007754746059)-π/2
    2×0.185838415093209-π/2
    0.371676830186418-1.57079632675     		φ = -1.19911950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08352941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19911950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.704486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13625 KachelY 12550 2.08352941 -1.19911950 119.377442 -68.704486
    Oben rechts KachelX + 1 13626 KachelY 12550 2.08391290 -1.19911950 119.399414 -68.704486
    Unten links KachelX 13625 KachelY + 1 12551 2.08352941 -1.19925875 119.377442 -68.712465
    Unten rechts KachelX + 1 13626 KachelY + 1 12551 2.08391290 -1.19925875 119.399414 -68.712465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19911950--1.19925875) × R
    0.000139250000000146 × 6371000     		dl = 887.161750000931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19911950--1.19925875) × R
    0.000139250000000146 × 6371000     		dr = 887.161750000931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08352941-2.08391290) × cos(-1.19911950) × R
    0.000383489999999931 × 0.363178274321431 × 6371000     		do = 887.322531228638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08352941-2.08391290) × cos(-1.19925875) × R
    0.000383489999999931 × 0.363048528836867 × 6371000     		du = 887.005535141815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19911950)-sin(-1.19925875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363178274321431-0.363048528836867)×R²
    abs(2.08391290-2.08352941)×0.000129745484564181×R²
    0.000383489999999931×0.000129745484564181×6371000²
    0.000383489999999931×0.000129745484564181×40589641000000     		ar = 787057.997490341m²