Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13623 / 3238
↖ ↑ ↗
← N 80.806365°
W 30.333252°		 ← 195.18 m → N 80.806365°
W 30.322266°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
N 80.804610°
W 30.333252°		 ← 195.22 m →
38 105 m²		 N 80.804610°
W 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415756225585938 y=0.0988311767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415756225585938 × 215)
    floor (0.415756225585938 × 32768)
    floor (13623.5)     		tx = 13623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988311767578125 × 215)
    floor (0.0988311767578125 × 32768)
    floor (3238.5)     		ty = 3238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13623 / 3238 ti = "15/13623/3238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13623/3238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13623 ÷ 215
    13623 ÷ 32768     		x = 0.415740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3238 ÷ 215
    3238 ÷ 32768     		y = 0.09881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.16851806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52941512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09881591796875 × 2 - 1) × π
    0.8023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52071392962103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52941512} λ = -0.52941512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52071392962103))-π/2
    2×atan(12.4374729750374)-π/2
    2×1.49056672674031-π/2
    2.98113345348063-1.57079632675     		φ = 1.41033713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52941512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.333252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41033713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.806365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13623 KachelY 3238 -0.52941512 1.41033713 -30.333252 80.806365
    Oben rechts KachelX + 1 13624 KachelY 3238 -0.52922337 1.41033713 -30.322266 80.806365
    Unten links KachelX 13623 KachelY + 1 3239 -0.52941512 1.41030649 -30.333252 80.804610
    Unten rechts KachelX + 1 13624 KachelY + 1 3239 -0.52922337 1.41030649 -30.322266 80.804610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41033713-1.41030649) × R
    3.06400000000817e-05 × 6371000     		dl = 195.207440000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41033713-1.41030649) × R
    3.06400000000817e-05 × 6371000     		dr = 195.207440000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52941512--0.52922337) × cos(1.41033713) × R
    0.000191750000000046 × 0.159771521405621 × 6371000     		do = 195.183161581369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52941512--0.52922337) × cos(1.41030649) × R
    0.000191750000000046 × 0.159801767729819 × 6371000     		du = 195.220111678177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41033713)-sin(1.41030649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159771521405621-0.159801767729819)×R²
    abs(-0.52922337--0.52941512)×3.0246324197708e-05×R²
    0.000191750000000046×3.0246324197708e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.0246324197708e-05×40589641000000     		ar = 38104.8117734246m²