Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13623 / 21785
↖ ↑ ↗
← S 50.909961°
W 30.333252°		 ← 770.29 m → S 50.909961°
W 30.322266°		 →
↑
770.19 m
↓
↑
770.19 m
↓
S 50.916887°
W 30.333252°		 ← 770.18 m →
593 228 m²		 S 50.916887°
W 30.322266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415756225585938 y=0.664840698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415756225585938 × 215)
    floor (0.415756225585938 × 32768)
    floor (13623.5)     		tx = 13623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664840698242188 × 215)
    floor (0.664840698242188 × 32768)
    floor (21785.5)     		ty = 21785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13623 / 21785 ti = "15/13623/21785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13623/21785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13623 ÷ 215
    13623 ÷ 32768     		x = 0.415740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21785 ÷ 215
    21785 ÷ 32768     		y = 0.664825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.16851806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52941512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.32965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03562877939169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52941512} λ = -0.52941512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03562877939169))-π/2
    2×atan(0.355003092104301)-π/2
    2×0.341124945481208-π/2
    0.682249890962416-1.57079632675     		φ = -0.88854644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52941512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.333252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88854644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.909961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13623 KachelY 21785 -0.52941512 -0.88854644 -30.333252 -50.909961
    Oben rechts KachelX + 1 13624 KachelY 21785 -0.52922337 -0.88854644 -30.322266 -50.909961
    Unten links KachelX 13623 KachelY + 1 21786 -0.52941512 -0.88866733 -30.333252 -50.916887
    Unten rechts KachelX + 1 13624 KachelY + 1 21786 -0.52922337 -0.88866733 -30.322266 -50.916887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88854644--0.88866733) × R
    0.000120889999999929 × 6371000     		dl = 770.190189999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88854644--0.88866733) × R
    0.000120889999999929 × 6371000     		dr = 770.190189999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52941512--0.52922337) × cos(-0.88854644) × R
    0.000191750000000046 × 0.630540881662994 × 6371000     		do = 770.293489769304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52941512--0.52922337) × cos(-0.88866733) × R
    0.000191750000000046 × 0.630447047552207 × 6371000     		du = 770.178858336578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88854644)-sin(-0.88866733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630540881662994-0.630447047552207)×R²
    abs(-0.52922337--0.52941512)×9.38341107866725e-05×R²
    0.000191750000000046×9.38341107866725e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.38341107866725e-05×40589641000000     		ar = 593228.345960649m²