Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13623 / 12663
↖ ↑ ↗
← S 69.588228°
E119.333496°		 ← 852.13 m → S 69.588228°
E119.355469°		 →
↑
851.99 m
↓
↑
851.99 m
↓
S 69.595890°
E119.333496°		 ← 851.82 m →
725 878 m²		 S 69.595890°
E119.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831512451171875 y=0.772918701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831512451171875 × 214)
    floor (0.831512451171875 × 16384)
    floor (13623.5)     		tx = 13623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772918701171875 × 214)
    floor (0.772918701171875 × 16384)
    floor (12663.5)     		ty = 12663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13623 / 12663 ti = "14/13623/12663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13623/12663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13623 ÷ 214
    13623 ÷ 16384     		x = 0.83148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12663 ÷ 214
    12663 ÷ 16384     		y = 0.77288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83148193359375 × 2 - 1) × π
    0.6629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.08276241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.5457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71460702561017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08276241} λ = 2.08276241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71460702561017))-π/2
    2×atan(0.180034455744069)-π/2
    2×0.178126312443778-π/2
    0.356252624887556-1.57079632675     		φ = -1.21454370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08276241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21454370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.588228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13623 KachelY 12663 2.08276241 -1.21454370 119.333496 -69.588228
    Oben rechts KachelX + 1 13624 KachelY 12663 2.08314591 -1.21454370 119.355469 -69.588228
    Unten links KachelX 13623 KachelY + 1 12664 2.08276241 -1.21467743 119.333496 -69.595890
    Unten rechts KachelX + 1 13624 KachelY + 1 12664 2.08314591 -1.21467743 119.355469 -69.595890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21454370--1.21467743) × R
    0.000133730000000165 × 6371000     		dl = 851.993830001052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21454370--1.21467743) × R
    0.000133730000000165 × 6371000     		dr = 851.993830001052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08276241-2.08314591) × cos(-1.21454370) × R
    0.00038349999999987 × 0.348764613347221 × 6371000     		do = 852.12908135179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08276241-2.08314591) × cos(-1.21467743) × R
    0.00038349999999987 × 0.348639277088577 × 6371000     		du = 851.822849965775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21454370)-sin(-1.21467743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348764613347221-0.348639277088577)×R²
    abs(2.08314591-2.08276241)×0.000125336258644082×R²
    0.00038349999999987×0.000125336258644082×6371000²
    0.00038349999999987×0.000125336258644082×40589641000000     		ar = 725878.26713104m²