Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13622 / 3256
↖ ↑ ↗
← N 80.774716°
W 30.344238°		 ← 195.85 m → N 80.774716°
W 30.333252°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
N 80.772954°
W 30.344238°		 ← 195.89 m →
38 360 m²		 N 80.772954°
W 30.333252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415725708007812 y=0.0993804931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415725708007812 × 215)
    floor (0.415725708007812 × 32768)
    floor (13622.5)     		tx = 13622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0993804931640625 × 215)
    floor (0.0993804931640625 × 32768)
    floor (3256.5)     		ty = 3256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13622 / 3256 ti = "15/13622/3256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13622/3256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13622 ÷ 215
    13622 ÷ 32768     		x = 0.41571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3256 ÷ 215
    3256 ÷ 32768     		y = 0.099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.1685791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52960687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099365234375 × 2 - 1) × π
    0.80126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51726247284839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52960687} λ = -0.52960687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51726247284839))-π/2
    2×atan(12.3946195705807)-π/2
    2×1.49029053425565-π/2
    2.98058106851131-1.57079632675     		φ = 1.40978474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52960687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.344238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40978474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.774716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13622 KachelY 3256 -0.52960687 1.40978474 -30.344238 80.774716
    Oben rechts KachelX + 1 13623 KachelY 3256 -0.52941512 1.40978474 -30.333252 80.774716
    Unten links KachelX 13622 KachelY + 1 3257 -0.52960687 1.40975400 -30.344238 80.772954
    Unten rechts KachelX + 1 13623 KachelY + 1 3257 -0.52941512 1.40975400 -30.333252 80.772954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40978474-1.40975400) × R
    3.07400000001401e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40978474-1.40975400) × R
    3.07400000001401e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52960687--0.52941512) × cos(1.40978474) × R
    0.000191749999999935 × 0.160316791011568 × 6371000     		do = 195.849284333713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52960687--0.52941512) × cos(1.40975400) × R
    0.000191749999999935 × 0.160347133332795 × 6371000     		du = 195.88635170426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40978474)-sin(1.40975400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160316791011568-0.160347133332795)×R²
    abs(-0.52941512--0.52960687)×3.03423212270337e-05×R²
    0.000191749999999935×3.03423212270337e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.03423212270337e-05×40589641000000     		ar = 38359.6427241949m²