Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13621 / 12661
↖ ↑ ↗
← S 69.572896°
E119.289551°		 ← 852.74 m → S 69.572896°
E119.311523°		 →
↑
852.57 m
↓
↑
852.57 m
↓
S 69.580564°
E119.289551°		 ← 852.44 m →
726 889 m²		 S 69.580564°
E119.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831390380859375 y=0.772796630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831390380859375 × 214)
    floor (0.831390380859375 × 16384)
    floor (13621.5)     		tx = 13621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772796630859375 × 214)
    floor (0.772796630859375 × 16384)
    floor (12661.5)     		ty = 12661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13621 / 12661 ti = "14/13621/12661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13621/12661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13621 ÷ 214
    13621 ÷ 16384     		x = 0.83135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12661 ÷ 214
    12661 ÷ 16384     		y = 0.77276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83135986328125 × 2 - 1) × π
    0.6627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08199542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.5455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71384003521625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08199542} λ = 2.08199542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71384003521625))-π/2
    2×atan(0.180172593410559)-π/2
    2×0.17826011007879-π/2
    0.35652022015758-1.57079632675     		φ = -1.21427611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08199542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21427611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.572896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13621 KachelY 12661 2.08199542 -1.21427611 119.289551 -69.572896
    Oben rechts KachelX + 1 13622 KachelY 12661 2.08237892 -1.21427611 119.311523 -69.572896
    Unten links KachelX 13621 KachelY + 1 12662 2.08199542 -1.21440993 119.289551 -69.580564
    Unten rechts KachelX + 1 13622 KachelY + 1 12662 2.08237892 -1.21440993 119.311523 -69.580564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21427611--1.21440993) × R
    0.000133820000000062 × 6371000     		dl = 852.567220000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21427611--1.21440993) × R
    0.000133820000000062 × 6371000     		dr = 852.567220000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08199542-2.08237892) × cos(-1.21427611) × R
    0.00038349999999987 × 0.349015388975861 × 6371000     		do = 852.74179605357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08199542-2.08237892) × cos(-1.21440993) × R
    0.00038349999999987 × 0.348889980855207 × 6371000     		du = 852.43538908865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21427611)-sin(-1.21440993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349015388975861-0.348889980855207)×R²
    abs(2.08237892-2.08199542)×0.000125408120654369×R²
    0.00038349999999987×0.000125408120654369×6371000²
    0.00038349999999987×0.000125408120654369×40589641000000     		ar = 726889.087255549m²