Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13620 / 3804
↖ ↑ ↗
← N 79.757749°
W 30.366211°		 ← 217.22 m → N 79.757749°
W 30.355224°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
N 79.755796°
W 30.366211°		 ← 217.26 m →
47 182 m²		 N 79.755796°
W 30.355224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415664672851562 y=0.116104125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415664672851562 × 215)
    floor (0.415664672851562 × 32768)
    floor (13620.5)     		tx = 13620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116104125976562 × 215)
    floor (0.116104125976562 × 32768)
    floor (3804.5)     		ty = 3804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13620 / 3804 ti = "15/13620/3804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13620/3804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13620 ÷ 215
    13620 ÷ 32768     		x = 0.4156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3804 ÷ 215
    3804 ÷ 32768     		y = 0.1160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52999036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1160888671875 × 2 - 1) × π
    0.767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41218478888123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52999036} λ = -0.52999036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41218478888123))-π/2
    2×atan(11.1583130918237)-π/2
    2×1.48141582506369-π/2
    2.96283165012739-1.57079632675     		φ = 1.39203532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52999036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.366211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39203532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.757749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13620 KachelY 3804 -0.52999036 1.39203532 -30.366211 79.757749
    Oben rechts KachelX + 1 13621 KachelY 3804 -0.52979861 1.39203532 -30.355224 79.757749
    Unten links KachelX 13620 KachelY + 1 3805 -0.52999036 1.39200123 -30.366211 79.755796
    Unten rechts KachelX + 1 13621 KachelY + 1 3805 -0.52979861 1.39200123 -30.355224 79.755796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39203532-1.39200123) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39203532-1.39200123) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52999036--0.52979861) × cos(1.39203532) × R
    0.000191750000000046 × 0.177810460672948 × 6371000     		do = 217.220237818706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52999036--0.52979861) × cos(1.39200123) × R
    0.000191750000000046 × 0.177844007337086 × 6371000     		du = 217.261219740324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39203532)-sin(1.39200123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177810460672948-0.177844007337086)×R²
    abs(-0.52979861--0.52999036)×3.35466641382676e-05×R²
    0.000191750000000046×3.35466641382676e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.35466641382676e-05×40589641000000     		ar = 47181.9468895083m²