Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13620 / 12660
↖ ↑ ↗
← S 69.565226°
E119.267578°		 ← 853.03 m → S 69.565226°
E119.289551°		 →
↑
852.89 m
↓
↑
852.89 m
↓
S 69.572896°
E119.267578°		 ← 852.72 m →
727 403 m²		 S 69.572896°
E119.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831329345703125 y=0.772735595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831329345703125 × 214)
    floor (0.831329345703125 × 16384)
    floor (13620.5)     		tx = 13620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772735595703125 × 214)
    floor (0.772735595703125 × 16384)
    floor (12660.5)     		ty = 12660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13620 / 12660 ti = "14/13620/12660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13620/12660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13620 ÷ 214
    13620 ÷ 16384     		x = 0.831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12660 ÷ 214
    12660 ÷ 16384     		y = 0.772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.831298828125 × 2 - 1) × π
    0.66259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08161193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    -0.54541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71345654001929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08161193} λ = 2.08161193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71345654001929))-π/2
    2×atan(0.180241701985312)-π/2
    2×0.178327044968669-π/2
    0.356654089937337-1.57079632675     		φ = -1.21414224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08161193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21414224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13620 KachelY 12660 2.08161193 -1.21414224 119.267578 -69.565226
    Oben rechts KachelX + 1 13621 KachelY 12660 2.08199542 -1.21414224 119.289551 -69.565226
    Unten links KachelX 13620 KachelY + 1 12661 2.08161193 -1.21427611 119.267578 -69.572896
    Unten rechts KachelX + 1 13621 KachelY + 1 12661 2.08199542 -1.21427611 119.289551 -69.572896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21414224--1.21427611) × R
    0.00013386999999998 × 6371000     		dl = 852.885769999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21414224--1.21427611) × R
    0.00013386999999998 × 6371000     		dr = 852.885769999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08161193-2.08199542) × cos(-1.21414224) × R
    0.000383489999999931 × 0.349140837699934 × 6371000     		do = 853.026058461315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08161193-2.08199542) × cos(-1.21427611) × R
    0.000383489999999931 × 0.349015388975861 × 6371000     		du = 852.719560283273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21414224)-sin(-1.21427611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349140837699934-0.349015388975861)×R²
    abs(2.08199542-2.08161193)×0.000125448724072719×R²
    0.000383489999999931×0.000125448724072719×6371000²
    0.000383489999999931×0.000125448724072719×40589641000000     		ar = 727403.083820951m²