Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13619 / 3703
↖ ↑ ↗
← N 79.953182°
W 30.377197°		 ← 213.12 m → N 79.953182°
W 30.366211°		 →
↑
213.17 m
↓
↑
213.17 m
↓
N 79.951265°
W 30.377197°		 ← 213.16 m →
45 436 m²		 N 79.951265°
W 30.366211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415634155273438 y=0.113021850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415634155273438 × 215)
    floor (0.415634155273438 × 32768)
    floor (13619.5)     		tx = 13619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113021850585938 × 215)
    floor (0.113021850585938 × 32768)
    floor (3703.5)     		ty = 3703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13619 / 3703 ti = "15/13619/3703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13619/3703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13619 ÷ 215
    13619 ÷ 32768     		x = 0.415618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3703 ÷ 215
    3703 ÷ 32768     		y = 0.113006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.16876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53018211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113006591796875 × 2 - 1) × π
    0.77398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43155129632773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53018211} λ = -0.53018211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43155129632773))-π/2
    2×atan(11.3765167468197)-π/2
    2×1.48312130245675-π/2
    2.9662426049135-1.57079632675     		φ = 1.39544628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53018211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.377197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39544628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.953182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13619 KachelY 3703 -0.53018211 1.39544628 -30.377197 79.953182
    Oben rechts KachelX + 1 13620 KachelY 3703 -0.52999036 1.39544628 -30.366211 79.953182
    Unten links KachelX 13619 KachelY + 1 3704 -0.53018211 1.39541282 -30.377197 79.951265
    Unten rechts KachelX + 1 13620 KachelY + 1 3704 -0.52999036 1.39541282 -30.366211 79.951265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39544628-1.39541282) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dl = 213.173660000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39544628-1.39541282) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dr = 213.173660000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53018211--0.52999036) × cos(1.39544628) × R
    0.000191750000000046 × 0.174452827288375 × 6371000     		do = 213.118421089001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53018211--0.52999036) × cos(1.39541282) × R
    0.000191750000000046 × 0.174485774099432 × 6371000     		du = 213.158670206551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39544628)-sin(1.39541282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174452827288375-0.174485774099432)×R²
    abs(-0.52999036--0.53018211)×3.29468110577824e-05×R²
    0.000191750000000046×3.29468110577824e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.29468110577824e-05×40589641000000     		ar = 45435.5238667015m²