Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13619 / 12655
↖ ↑ ↗
← S 69.526834°
E119.245605°		 ← 854.58 m → S 69.526834°
E119.267578°		 →
↑
854.41 m
↓
↑
854.41 m
↓
S 69.534518°
E119.245605°		 ← 854.28 m →
730 037 m²		 S 69.534518°
E119.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831268310546875 y=0.772430419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831268310546875 × 214)
    floor (0.831268310546875 × 16384)
    floor (13619.5)     		tx = 13619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772430419921875 × 214)
    floor (0.772430419921875 × 16384)
    floor (12655.5)     		ty = 12655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13619 / 12655 ti = "14/13619/12655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13619/12655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13619 ÷ 214
    13619 ÷ 16384     		x = 0.83123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12655 ÷ 214
    12655 ÷ 16384     		y = 0.77239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83123779296875 × 2 - 1) × π
    0.6624755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.08122843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.5447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71153906403448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08122843} λ = 2.08122843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71153906403448))-π/2
    2×atan(0.180587642680823)-π/2
    2×0.178662080439612-π/2
    0.357324160879224-1.57079632675     		φ = -1.21347217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08122843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.245605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21347217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.526834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13619 KachelY 12655 2.08122843 -1.21347217 119.245605 -69.526834
    Oben rechts KachelX + 1 13620 KachelY 12655 2.08161193 -1.21347217 119.267578 -69.526834
    Unten links KachelX 13619 KachelY + 1 12656 2.08122843 -1.21360628 119.245605 -69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 13620 KachelY + 1 12656 2.08161193 -1.21360628 119.267578 -69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21347217--1.21360628) × R
    0.000134110000000076 × 6371000     		dl = 854.414810000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21347217--1.21360628) × R
    0.000134110000000076 × 6371000     		dr = 854.414810000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08122843-2.08161193) × cos(-1.21347217) × R
    0.000383500000000314 × 0.349768661942202 × 6371000     		do = 854.582251697849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08122843-2.08161193) × cos(-1.21360628) × R
    0.000383500000000314 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 854.275272727058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21347217)-sin(-1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349768661942202-0.349643019707478)×R²
    abs(2.08161193-2.08122843)×0.000125642234723111×R²
    0.000383500000000314×0.000125642234723111×6371000²
    0.000383500000000314×0.000125642234723111×40589641000000     		ar = 730036.589619117m²