Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13618 / 3312
↖ ↑ ↗
← N 80.675559°
W 30.388184°		 ← 197.94 m → N 80.675559°
W 30.377197°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 80.673779°
W 30.388184°		 ← 197.97 m →
39 185 m²		 N 80.673779°
W 30.377197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415603637695312 y=0.101089477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415603637695312 × 215)
    floor (0.415603637695312 × 32768)
    floor (13618.5)     		tx = 13618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101089477539062 × 215)
    floor (0.101089477539062 × 32768)
    floor (3312.5)     		ty = 3312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13618 / 3312 ti = "15/13618/3312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13618/3312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13618 ÷ 215
    13618 ÷ 32768     		x = 0.41558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3312 ÷ 215
    3312 ÷ 32768     		y = 0.10107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41558837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53037386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10107421875 × 2 - 1) × π
    0.7978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5065246073335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53037386} λ = -0.53037386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5065246073335))-π/2
    2×atan(12.2622398224554)-π/2
    2×1.48942522703701-π/2
    2.97885045407401-1.57079632675     		φ = 1.40805413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53037386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.388184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40805413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.675559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13618 KachelY 3312 -0.53037386 1.40805413 -30.388184 80.675559
    Oben rechts KachelX + 1 13619 KachelY 3312 -0.53018211 1.40805413 -30.377197 80.675559
    Unten links KachelX 13618 KachelY + 1 3313 -0.53037386 1.40802306 -30.388184 80.673779
    Unten rechts KachelX + 1 13619 KachelY + 1 3313 -0.53018211 1.40802306 -30.377197 80.673779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40805413-1.40802306) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dl = 197.946969999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40805413-1.40802306) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dr = 197.946969999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53037386--0.53018211) × cos(1.40805413) × R
    0.000191749999999935 × 0.162024775706063 × 6371000     		do = 197.935825474906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53037386--0.53018211) × cos(1.40802306) × R
    0.000191749999999935 × 0.162055435090319 × 6371000     		du = 197.973280182094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40805413)-sin(1.40802306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162024775706063-0.162055435090319)×R²
    abs(-0.53018211--0.53037386)×3.06593842561986e-05×R²
    0.000191749999999935×3.06593842561986e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.06593842561986e-05×40589641000000     		ar = 39184.5039334216m²