Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13618 / 12656
↖ ↑ ↗
← S 69.534518°
E119.223633°		 ← 854.25 m → S 69.534518°
E119.245605°		 →
↑
854.10 m
↓
↑
854.10 m
↓
S 69.542199°
E119.223633°		 ← 853.95 m →
729 483 m²		 S 69.542199°
E119.245605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.831207275390625 y=0.772491455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.831207275390625 × 214)
    floor (0.831207275390625 × 16384)
    floor (13618.5)     		tx = 13618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772491455078125 × 214)
    floor (0.772491455078125 × 16384)
    floor (12656.5)     		ty = 12656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13618 / 12656 ti = "14/13618/12656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13618/12656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13618 ÷ 214
    13618 ÷ 16384     		x = 0.8311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12656 ÷ 214
    12656 ÷ 16384     		y = 0.7724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8311767578125 × 2 - 1) × π
    0.662353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08084494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71192255923145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08084494} λ = 2.08084494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71192255923145))-π/2
    2×atan(0.18051840146491)-π/2
    2×0.178595025184392-π/2
    0.357190050368785-1.57079632675     		φ = -1.21360628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08084494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21360628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.534518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13618 KachelY 12656 2.08084494 -1.21360628 119.223633 -69.534518
    Oben rechts KachelX + 1 13619 KachelY 12656 2.08122843 -1.21360628 119.245605 -69.534518
    Unten links KachelX 13618 KachelY + 1 12657 2.08084494 -1.21374034 119.223633 -69.542199
    Unten rechts KachelX + 1 13619 KachelY + 1 12657 2.08122843 -1.21374034 119.245605 -69.542199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21360628--1.21374034) × R
    0.000134059999999936 × 6371000     		dl = 854.096259999592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21360628--1.21374034) × R
    0.000134059999999936 × 6371000     		dr = 854.096259999592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08084494-2.08122843) × cos(-1.21360628) × R
    0.000383489999999931 × 0.349643019707478 × 6371000     		do = 854.252996969419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08084494-2.08122843) × cos(-1.21374034) × R
    0.000383489999999931 × 0.349517418030748 × 6371000     		du = 853.946125095181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21360628)-sin(-1.21374034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349643019707478-0.349517418030748)×R²
    abs(2.08122843-2.08084494)×0.000125601676730924×R²
    0.000383489999999931×0.000125601676730924×6371000²
    0.000383489999999931×0.000125601676730924×40589641000000     		ar = 729483.24183613m²