Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13617 / 3824
↖ ↑ ↗
← N 79.718605°
W 30.399170°		 ← 218.03 m → N 79.718605°
W 30.388184°		 →
↑
218.08 m
↓
↑
218.08 m
↓
N 79.716644°
W 30.399170°		 ← 218.07 m →
47 552 m²		 N 79.716644°
W 30.388184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415573120117188 y=0.116714477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415573120117188 × 215)
    floor (0.415573120117188 × 32768)
    floor (13617.5)     		tx = 13617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116714477539062 × 215)
    floor (0.116714477539062 × 32768)
    floor (3824.5)     		ty = 3824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13617 / 3824 ti = "15/13617/3824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13617/3824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13617 ÷ 215
    13617 ÷ 32768     		x = 0.415557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3824 ÷ 215
    3824 ÷ 32768     		y = 0.11669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.16888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53056560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11669921875 × 2 - 1) × π
    0.7666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53056560} λ = -0.53056560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40834983691162))-π/2
    2×atan(11.1156034441222)-π/2
    2×1.48107423365786-π/2
    2.96214846731572-1.57079632675     		φ = 1.39135214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53056560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39135214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.718605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13617 KachelY 3824 -0.53056560 1.39135214 -30.399170 79.718605
    Oben rechts KachelX + 1 13618 KachelY 3824 -0.53037386 1.39135214 -30.388184 79.718605
    Unten links KachelX 13617 KachelY + 1 3825 -0.53056560 1.39131791 -30.399170 79.716644
    Unten rechts KachelX + 1 13618 KachelY + 1 3825 -0.53037386 1.39131791 -30.388184 79.716644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39135214-1.39131791) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dl = 218.079330000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39135214-1.39131791) × R
    3.4230000000024e-05 × 6371000     		dr = 218.079330000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53056560--0.53037386) × cos(1.39135214) × R
    0.000191739999999996 × 0.178482712484118 × 6371000     		do = 218.030115883447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53056560--0.53037386) × cos(1.39131791) × R
    0.000191739999999996 × 0.178516392750075 × 6371000     		du = 218.07125887252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39135214)-sin(1.39131791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178482712484118-0.178516392750075)×R²
    abs(-0.53037386--0.53056560)×3.36802659567093e-05×R²
    0.000191739999999996×3.36802659567093e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.36802659567093e-05×40589641000000     		ar = 47552.3478146778m²