Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13617 / 21807
↖ ↑ ↗
← S 51.062113°
W 30.399170°		 ← 767.73 m → S 51.062113°
W 30.388184°		 →
↑
767.71 m
↓
↑
767.71 m
↓
S 51.069017°
W 30.399170°		 ← 767.62 m →
589 349 m²		 S 51.069017°
W 30.388184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415573120117188 y=0.665512084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415573120117188 × 215)
    floor (0.415573120117188 × 32768)
    floor (13617.5)     		tx = 13617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665512084960938 × 215)
    floor (0.665512084960938 × 32768)
    floor (21807.5)     		ty = 21807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13617 / 21807 ti = "15/13617/21807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13617/21807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13617 ÷ 215
    13617 ÷ 32768     		x = 0.415557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21807 ÷ 215
    21807 ÷ 32768     		y = 0.665496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.16888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53056560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.33099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03984722655826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53056560} λ = -0.53056560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03984722655826))-π/2
    2×atan(0.35350868457202)-π/2
    2×0.339797170210258-π/2
    0.679594340420516-1.57079632675     		φ = -0.89120199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53056560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89120199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.062113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13617 KachelY 21807 -0.53056560 -0.89120199 -30.399170 -51.062113
    Oben rechts KachelX + 1 13618 KachelY 21807 -0.53037386 -0.89120199 -30.388184 -51.062113
    Unten links KachelX 13617 KachelY + 1 21808 -0.53056560 -0.89132249 -30.399170 -51.069017
    Unten rechts KachelX + 1 13618 KachelY + 1 21808 -0.53037386 -0.89132249 -30.388184 -51.069017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89120199--0.89132249) × R
    0.000120499999999968 × 6371000     		dl = 767.705499999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89120199--0.89132249) × R
    0.000120499999999968 × 6371000     		dr = 767.705499999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53056560--0.53037386) × cos(-0.89120199) × R
    0.000191739999999996 × 0.628477539647912 × 6371000     		do = 767.732789873253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53056560--0.53037386) × cos(-0.89132249) × R
    0.000191739999999996 × 0.628383806843492 × 6371000     		du = 767.618288172078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89120199)-sin(-0.89132249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628477539647912-0.628383806843492)×R²
    abs(-0.53037386--0.53056560)×9.37328044200436e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37328044200436e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37328044200436e-05×40589641000000     		ar = 589348.734236294m²