Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13616 / 16147
↖ ↑ ↗
← N 79.292949°
W142.602539°		 ← 56.74 m → N 79.292949°
W142.599792°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.292438°
W142.602539°		 ← 56.75 m →
3 221 m²		 N 79.292438°
W142.599792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103885650634766 y=0.123195648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103885650634766 × 217)
    floor (0.103885650634766 × 131072)
    floor (13616.5)     		tx = 13616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123195648193359 × 217)
    floor (0.123195648193359 × 131072)
    floor (16147.5)     		ty = 16147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13616 / 16147 ti = "17/13616/16147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13616/16147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13616 ÷ 217
    13616 ÷ 131072     		x = 0.1038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16147 ÷ 217
    16147 ÷ 131072     		y = 0.123191833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.48888383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123191833496094 × 2 - 1) × π
    0.753616333007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.36755553533495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48888383} λ = -2.48888383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36755553533495))-π/2
    2×atan(10.6712748212771)-π/2
    2×1.47735967694131-π/2
    2.95471935388263-1.57079632675     		φ = 1.38392303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48888383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38392303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.292949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13616 KachelY 16147 -2.48888383 1.38392303 -142.602539 79.292949
    Oben rechts KachelX + 1 13617 KachelY 16147 -2.48883589 1.38392303 -142.599792 79.292949
    Unten links KachelX 13616 KachelY + 1 16148 -2.48888383 1.38391412 -142.602539 79.292438
    Unten rechts KachelX + 1 13617 KachelY + 1 16148 -2.48883589 1.38391412 -142.599792 79.292438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38392303-1.38391412) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38392303-1.38391412) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48888383--2.48883589) × cos(1.38392303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185787541022735 × 6371000     		do = 56.7442971996121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48888383--2.48883589) × cos(1.38391412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185796295891723 × 6371000     		du = 56.7469711619514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38392303)-sin(1.38391412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185787541022735-0.185796295891723)×R²
    abs(-2.48883589--2.48888383)×8.75486898799238e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75486898799238e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75486898799238e-06×40589641000000     		ar = 3221.20053921006m²