Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13615 / 16146
↖ ↑ ↗
← N 79.293459°
W142.605286°		 ← 56.74 m → N 79.293459°
W142.602539°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.292949°
W142.605286°		 ← 56.74 m →
3 217 m²		 N 79.292949°
W142.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103878021240234 y=0.123188018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103878021240234 × 217)
    floor (0.103878021240234 × 131072)
    floor (13615.5)     		tx = 13615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123188018798828 × 217)
    floor (0.123188018798828 × 131072)
    floor (16146.5)     		ty = 16146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13615 / 16146 ti = "17/13615/16146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13615/16146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13615 ÷ 217
    13615 ÷ 131072     		x = 0.103874206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16146 ÷ 217
    16146 ÷ 131072     		y = 0.123184204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103874206542969 × 2 - 1) × π
    -0.792251586914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.48893177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123184204101562 × 2 - 1) × π
    0.753631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36760347223457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48893177} λ = -2.48893177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36760347223457))-π/2
    2×atan(10.6717863813683)-π/2
    2×1.47736412987586-π/2
    2.95472825975172-1.57079632675     		φ = 1.38393193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48893177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.605286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38393193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.293459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13615 KachelY 16146 -2.48893177 1.38393193 -142.605286 79.293459
    Oben rechts KachelX + 1 13616 KachelY 16146 -2.48888383 1.38393193 -142.602539 79.293459
    Unten links KachelX 13615 KachelY + 1 16147 -2.48893177 1.38392303 -142.605286 79.292949
    Unten rechts KachelX + 1 13616 KachelY + 1 16147 -2.48888383 1.38392303 -142.602539 79.292949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38393193-1.38392303) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38393193-1.38392303) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48893177--2.48888383) × cos(1.38393193) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.185778795964914 × 6371000     		do = 56.7416262343814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48893177--2.48888383) × cos(1.38392303) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.185787541022735 × 6371000     		du = 56.7442972001378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38393193)-sin(1.38392303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185778795964914-0.185787541022735)×R²
    abs(-2.48888383--2.48893177)×8.74505782119672e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.74505782119672e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.74505782119672e-06×40589641000000     		ar = 3217.43374088162m²