Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13614 / 5281
↖ ↑ ↗
← N 53.735716°
E119.135742°		 ← 1 445.19 m → N 53.735716°
E119.157715°		 →
↑
1 445.45 m
↓
↑
1 445.45 m
↓
N 53.722717°
E119.135742°		 ← 1 445.63 m →
2 089 273 m²		 N 53.722717°
E119.157715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830963134765625 y=0.322357177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830963134765625 × 214)
    floor (0.830963134765625 × 16384)
    floor (13614.5)     		tx = 13614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322357177734375 × 214)
    floor (0.322357177734375 × 16384)
    floor (5281.5)     		ty = 5281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13614 / 5281 ti = "14/13614/5281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13614/5281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13614 ÷ 214
    13614 ÷ 16384     		x = 0.8309326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5281 ÷ 214
    5281 ÷ 16384     		y = 0.32232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8309326171875 × 2 - 1) × π
    0.661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.07931096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32232666015625 × 2 - 1) × π
    0.3553466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11635451835187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07931096} λ = 2.07931096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11635451835187))-π/2
    2×atan(3.05370167406201)-π/2
    2×1.25433074622386-π/2
    2.50866149244773-1.57079632675     		φ = 0.93786517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07931096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93786517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.735716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13614 KachelY 5281 2.07931096 0.93786517 119.135742 53.735716
    Oben rechts KachelX + 1 13615 KachelY 5281 2.07969445 0.93786517 119.157715 53.735716
    Unten links KachelX 13614 KachelY + 1 5282 2.07931096 0.93763829 119.135742 53.722717
    Unten rechts KachelX + 1 13615 KachelY + 1 5282 2.07969445 0.93763829 119.157715 53.722717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93786517-0.93763829) × R
    0.00022688000000004 × 6371000     		dl = 1445.45248000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93786517-0.93763829) × R
    0.00022688000000004 × 6371000     		dr = 1445.45248000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07931096-2.07969445) × cos(0.93786517) × R
    0.000383489999999931 × 0.591510679002371 × 6371000     		do = 1445.18763938127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07931096-2.07969445) × cos(0.93763829) × R
    0.000383489999999931 × 0.591693596477495 × 6371000     		du = 1445.63454606185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93786517)-sin(0.93763829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591510679002371-0.591693596477495)×R²
    abs(2.07969445-2.07931096)×0.000182917475123889×R²
    0.000383489999999931×0.000182917475123889×6371000²
    0.000383489999999931×0.000182917475123889×40589641000000     		ar = 2089273.05755616m²