Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13614 / 3814
↖ ↑ ↗
← N 79.738195°
W 30.432129°		 ← 217.63 m → N 79.738195°
W 30.421143°		 →
↑
217.63 m
↓
↑
217.63 m
↓
N 79.736238°
W 30.432129°		 ← 217.67 m →
47 368 m²		 N 79.736238°
W 30.421143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415481567382812 y=0.116409301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415481567382812 × 215)
    floor (0.415481567382812 × 32768)
    floor (13614.5)     		tx = 13614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116409301757812 × 215)
    floor (0.116409301757812 × 32768)
    floor (3814.5)     		ty = 3814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13614 / 3814 ti = "15/13614/3814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13614/3814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13614 ÷ 215
    13614 ÷ 32768     		x = 0.41546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3814 ÷ 215
    3814 ÷ 32768     		y = 0.11639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.1690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53114085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11639404296875 × 2 - 1) × π
    0.7672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41026731289642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53114085} λ = -0.53114085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41026731289642))-π/2
    2×atan(11.1369377942983)-π/2
    2×1.48124519048974-π/2
    2.96249038097948-1.57079632675     		φ = 1.39169405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53114085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.432129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39169405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.738195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13614 KachelY 3814 -0.53114085 1.39169405 -30.432129 79.738195
    Oben rechts KachelX + 1 13615 KachelY 3814 -0.53094910 1.39169405 -30.421143 79.738195
    Unten links KachelX 13614 KachelY + 1 3815 -0.53114085 1.39165989 -30.432129 79.736238
    Unten rechts KachelX + 1 13615 KachelY + 1 3815 -0.53094910 1.39165989 -30.421143 79.736238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39169405-1.39165989) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dl = 217.633360000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39169405-1.39165989) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dr = 217.633360000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53114085--0.53094910) × cos(1.39169405) × R
    0.000191750000000046 × 0.178146282090662 × 6371000     		do = 217.630490443577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53114085--0.53094910) × cos(1.39165989) × R
    0.000191750000000046 × 0.178179895563879 × 6371000     		du = 217.671553981787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39169405)-sin(1.39165989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178146282090662-0.178179895563879)×R²
    abs(-0.53094910--0.53114085)×3.36134732170368e-05×R²
    0.000191750000000046×3.36134732170368e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.36134732170368e-05×40589641000000     		ar = 47368.1232764241m²