Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13613 / 5282
↖ ↑ ↗
← N 53.722717°
E119.113769°		 ← 1 445.67 m → N 53.722717°
E119.135742°		 →
↑
1 445.90 m
↓
↑
1 445.90 m
↓
N 53.709713°
E119.113769°		 ← 1 446.12 m →
2 090 618 m²		 N 53.709713°
E119.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.830902099609375 y=0.322418212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.830902099609375 × 214)
    floor (0.830902099609375 × 16384)
    floor (13613.5)     		tx = 13613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322418212890625 × 214)
    floor (0.322418212890625 × 16384)
    floor (5282.5)     		ty = 5282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13613 / 5282 ti = "14/13613/5282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13613/5282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13613 ÷ 214
    13613 ÷ 16384     		x = 0.83087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5282 ÷ 214
    5282 ÷ 16384     		y = 0.3223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83087158203125 × 2 - 1) × π
    0.6617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.07892746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3223876953125 × 2 - 1) × π
    0.355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11597102315491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.07892746} λ = 2.07892746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11597102315491))-π/2
    2×atan(3.05253081866012)-π/2
    2×1.25421730793471-π/2
    2.50843461586941-1.57079632675     		φ = 0.93763829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.07892746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.113769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93763829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.722717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13613 KachelY 5282 2.07892746 0.93763829 119.113769 53.722717
    Oben rechts KachelX + 1 13614 KachelY 5282 2.07931096 0.93763829 119.135742 53.722717
    Unten links KachelX 13613 KachelY + 1 5283 2.07892746 0.93741134 119.113769 53.709713
    Unten rechts KachelX + 1 13614 KachelY + 1 5283 2.07931096 0.93741134 119.135742 53.709713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93763829-0.93741134) × R
    0.000226949999999948 × 6371000     		dl = 1445.89844999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93763829-0.93741134) × R
    0.000226949999999948 × 6371000     		dr = 1445.89844999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.07892746-2.07931096) × cos(0.93763829) × R
    0.00038349999999987 × 0.591693596477495 × 6371000     		do = 1445.67224286065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.07892746-2.07931096) × cos(0.93741134) × R
    0.00038349999999987 × 0.591876539917472 × 6371000     		du = 1446.11922463426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93763829)-sin(0.93741134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591693596477495-0.591876539917472)×R²
    abs(2.07931096-2.07892746)×0.000182943439977379×R²
    0.00038349999999987×0.000182943439977379×6371000²
    0.00038349999999987×0.000182943439977379×40589641000000     		ar = 2090618.4092613m²