Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13613 / 3250
↖ ↑ ↗
← N 80.785278°
W 30.443115°		 ← 195.63 m → N 80.785278°
W 30.432129°		 →
↑
195.65 m
↓
↑
195.65 m
↓
N 80.783518°
W 30.443115°		 ← 195.66 m →
38 279 m²		 N 80.783518°
W 30.432129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415451049804688 y=0.0991973876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415451049804688 × 215)
    floor (0.415451049804688 × 32768)
    floor (13613.5)     		tx = 13613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991973876953125 × 215)
    floor (0.0991973876953125 × 32768)
    floor (3250.5)     		ty = 3250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13613 / 3250 ti = "15/13613/3250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13613/3250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13613 ÷ 215
    13613 ÷ 32768     		x = 0.415435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3250 ÷ 215
    3250 ÷ 32768     		y = 0.09918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.415435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.16912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53133260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09918212890625 × 2 - 1) × π
    0.8016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51841295843927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53133260} λ = -0.53133260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51841295843927))-π/2
    2×atan(12.408887607813)-π/2
    2×1.49038270298964-π/2
    2.98076540597928-1.57079632675     		φ = 1.40996908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53133260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.443115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40996908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.785278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13613 KachelY 3250 -0.53133260 1.40996908 -30.443115 80.785278
    Oben rechts KachelX + 1 13614 KachelY 3250 -0.53114085 1.40996908 -30.432129 80.785278
    Unten links KachelX 13613 KachelY + 1 3251 -0.53133260 1.40993837 -30.443115 80.783518
    Unten rechts KachelX + 1 13614 KachelY + 1 3251 -0.53114085 1.40993837 -30.432129 80.783518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40996908-1.40993837) × R
    3.07099999998783e-05 × 6371000     		dl = 195.653409999225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40996908-1.40993837) × R
    3.07099999998783e-05 × 6371000     		dr = 195.653409999225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53133260--0.53114085) × cos(1.40996908) × R
    0.000191750000000046 × 0.160134832613416 × 6371000     		do = 195.626996812776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53133260--0.53114085) × cos(1.40993837) × R
    0.000191750000000046 × 0.160165146229959 × 6371000     		du = 195.664029116555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40996908)-sin(1.40993837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160134832613416-0.160165146229959)×R²
    abs(-0.53114085--0.53133260)×3.03136165432927e-05×R²
    0.000191750000000046×3.03136165432927e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.03136165432927e-05×40589641000000     		ar = 38278.7117658607m²