Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13612 / 3247
↖ ↑ ↗
← N 80.790554°
W 30.454101°		 ← 195.51 m → N 80.790554°
W 30.443115°		 →
↑
195.53 m
↓
↑
195.53 m
↓
N 80.788795°
W 30.454101°		 ← 195.54 m →
38 230 m²		 N 80.788795°
W 30.443115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415420532226562 y=0.0991058349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415420532226562 × 215)
    floor (0.415420532226562 × 32768)
    floor (13612.5)     		tx = 13612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991058349609375 × 215)
    floor (0.0991058349609375 × 32768)
    floor (3247.5)     		ty = 3247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13612 / 3247 ti = "15/13612/3247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13612/3247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13612 ÷ 215
    13612 ÷ 32768     		x = 0.4154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3247 ÷ 215
    3247 ÷ 32768     		y = 0.099090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.53152434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099090576171875 × 2 - 1) × π
    0.80181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51898820123471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53152434} λ = -0.53152434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51898820123471))-π/2
    2×atan(12.4160277844795)-π/2
    2×1.49042874812029-π/2
    2.98085749624058-1.57079632675     		φ = 1.41006117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53152434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.454101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41006117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.790554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13612 KachelY 3247 -0.53152434 1.41006117 -30.454101 80.790554
    Oben rechts KachelX + 1 13613 KachelY 3247 -0.53133260 1.41006117 -30.443115 80.790554
    Unten links KachelX 13612 KachelY + 1 3248 -0.53152434 1.41003048 -30.454101 80.788795
    Unten rechts KachelX + 1 13613 KachelY + 1 3248 -0.53133260 1.41003048 -30.443115 80.788795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41006117-1.41003048) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dl = 195.525989999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41006117-1.41003048) × R
    3.06899999999999e-05 × 6371000     		dr = 195.525989999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53152434--0.53133260) × cos(1.41006117) × R
    0.000191739999999996 × 0.160043930342153 × 6371000     		do = 195.505750631434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53152434--0.53133260) × cos(1.41003048) × R
    0.000191739999999996 × 0.160074224669386 × 6371000     		du = 195.542757440582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41006117)-sin(1.41003048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160043930342153-0.160074224669386)×R²
    abs(-0.53133260--0.53152434)×3.02943272328937e-05×R²
    0.000191739999999996×3.02943272328937e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.02943272328937e-05×40589641000000     		ar = 38230.0733417903m²