Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13609 / 16141
↖ ↑ ↗
← N 79.296010°
W142.621765°		 ← 56.73 m → N 79.296010°
W142.619019°		 →
↑
56.77 m
↓
↑
56.77 m
↓
N 79.295500°
W142.621765°		 ← 56.73 m →
3 220 m²		 N 79.295500°
W142.619019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103832244873047 y=0.123149871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103832244873047 × 217)
    floor (0.103832244873047 × 131072)
    floor (13609.5)     		tx = 13609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123149871826172 × 217)
    floor (0.123149871826172 × 131072)
    floor (16141.5)     		ty = 16141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13609 / 16141 ti = "17/13609/16141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13609/16141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13609 ÷ 217
    13609 ÷ 131072     		x = 0.103828430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16141 ÷ 217
    16141 ÷ 131072     		y = 0.123146057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103828430175781 × 2 - 1) × π
    -0.792343139648438 × 3.1415926535     		Λ = -2.48921939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123146057128906 × 2 - 1) × π
    0.753707885742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36784315673267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48921939} λ = -2.48921939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36784315673267))-π/2
    2×atan(10.6743445496953)-π/2
    2×1.47738639140271-π/2
    2.95477278280542-1.57079632675     		φ = 1.38397646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48921939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.621765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38397646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.296010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13609 KachelY 16141 -2.48921939 1.38397646 -142.621765 79.296010
    Oben rechts KachelX + 1 13610 KachelY 16141 -2.48917145 1.38397646 -142.619019 79.296010
    Unten links KachelX 13609 KachelY + 1 16142 -2.48921939 1.38396755 -142.621765 79.295500
    Unten rechts KachelX + 1 13610 KachelY + 1 16142 -2.48917145 1.38396755 -142.619019 79.295500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38397646-1.38396755) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dl = 56.7656100001823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38397646-1.38396755) × R
    8.91000000002862e-06 × 6371000     		dr = 56.7656100001823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48921939--2.48917145) × cos(1.38397646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185735040977092 × 6371000     		do = 56.7282623343216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48921939--2.48917145) × cos(1.38396755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185743795934516 × 6371000     		du = 56.7309363236714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38397646)-sin(1.38396755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185735040977092-0.185743795934516)×R²
    abs(-2.48917145--2.48921939)×8.75495742380661e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.75495742380661e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.75495742380661e-06×40589641000000     		ar = 3220.29031101228m²